Publicaciones Recientes

Problema

P6. Más de Desigualdades Tamaulipas

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2025 - 12:57.

Sean

$a, \ b, \ c, \ d$ números reales positivos tales que

$a>c$ ,

$d>b$ . Si se cumplen las siguientes dos condiciones:

$a+\sqrt{b} \geq c+\sqrt{d} \ \mathrm {,} \ \sqrt{a}+b \leq \sqrt{c}+d$

Demuestra que

$a+b+c+d > 1$

Problema

P5. Sobreexplotando la configuración del ortocentro con una concurrencia.

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2025 - 12:56.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ su ortocentro. Sea $\Omega$ el circunírculo de $BHC$ . Las rectas $AH$ y $AC$ cortan a $\Omega$ en $D \neq H$ y $E\neq C$ respectivamente. Sea $F \neq D$ la segunda intersección de $CD$ con el circuncírculo de $AED$ . Demuestra que $AF, \ BC$ y $DE$ concurren.

Problema

P4. La vaca saturno saturnita y su polígono de focos

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2025 - 12:53.

Sea

$n\ge 3$ un entero positivo. En cada uno de los vértices de un

$n$ -ágono regular y en el centro de dicho polígono, hay un foco que puede estar encendido o apagado.

Problema

P3. Paralelas con una tangente

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2025 - 12:45.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $H$ su ortocentro y $D$ el pie de altura desde $A$ a $BC$ , de tal forma que $AH=HD$ . Sea $\mathcal{Z}$ el circuncírculo de $BHC$ . Sea $\ell$ la recta tangente a $\mathcal{Z}$ por $H$ , de tal forma que $\ell$ corta a $AB$ en $S$ y a $AC$ en $T$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BH$ y $CH$ respectivamente. Demuestra que $SM$ es paralela a $TN$ .

Problema

P2. Sam vs Hugo, monedas en fila

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2025 - 12:44.

Sam y Hugo juegan con $n$ monedas, todas con $A$ en una cara y $S$ en la otra. Las monedas están puestas en fila sobre la mesa. Sam y Hugo se turnan. En su turno, Sam puede voltear una o más monedas, siempre que no voltee dos adyacentes; mientras Hugo elige exactamente dos monedas adyacentes y las voltea. Al comenzar el juego, todas las monedas muestran $A$ . Sam juega primero y gana si todas las monedas muestran $S$ simultáneamente en cualquier momento. Halla todos los $n\geq 1$ con los que Hugo puede evitar que Sam gane.

Problema

P1. El regreso del piso, el ascenso del techo

Enviado por Samuel Elias el 23 de Octubre de 2025 - 12:41.

Encuentra todos los números enteros positivos

$x$ para el cual existe un número real

$R$ tal que:

$4\lfloor R\rfloor^2 + 4\lceil{R}\rceil +1 = x^2$

Problema

6. Aplicación del EFR

Enviado por Samuel Elias el 4 de Octubre de 2025 - 17:06.

Sean

$C_1$ y

$C_2$ dos circunferencias de mismo radio que se intersectan en

$B$ y

$C$ y sea

$M$ el punto medio de

$BC$ . Sea

$G$ un punto en

$C_1$ de tal forma que el segmento

$CG$ corte a

$C_2$ en

$E$ y

$E$ quede entre

$G$ y

$C$ . Sea

$H$ un punto en

$C_2$ de tal forma que el segmento

$BH$ corte a

$C_1$ en

$F$ y

$F$ quede entre

$B$ y

$H$ . Si

$E, \ M, \ F$ son colineales:

$i)$ Demuestra que

$G, \ H, \ M$ son colineales.

$ii)$ Sean

$O_1$ y

$O_2$ los centros de

$C_1$ y

$C_2$ respectivamente. Demuestra que

$O_1F$ y

$O_2E$ son paralelas.

Problema

5. Divisores cuadrados vs el doble

Enviado por Samuel Elias el 4 de Octubre de 2025 - 17:02.

Sea $1=d_1<d_2<\dots<d_k=n$ todos los divisores del entero positivo $n$ , donde $k\geq 5$ . Determina si exsiste alguna $n$ que cumpla que $2n=d_3^2+d_4^2+d_5^2$

Problema

4. Un cuadrado mágico perfecto

Enviado por Samuel Elias el 4 de Octubre de 2025 - 17:00.

Los números del 1 al 360 se reparten en 9 subconjuntos, de tal forma que la suma de cada subconjunto se coloca en un cuadrado de $3 \times 3$ . ¿Será posible que el cuadrado de $3 \times 3$ sea un cuadrado mágico?

Problema

3. Una desigualdad, muchas soluciones.

Enviado por Samuel Elias el 4 de Octubre de 2025 - 16:58.

Sean

$x,y$ números reales positivos tal que

$x+y=1$ . Demuestra que

$\frac{x}{y+1} + \frac{y}{x+1} \geq \frac{2}{3}$

Y encuentra en qué valores de

$(x, y)$ se da la igualdad.