Básico

Con cuadrados de lado 1 se forma en cada etapa una figura en forma de escalera siguiendo el patron del dibujo 

Por ejemplo, la primera etapa utiliza un cuadrado, la segunda utiliza 5. Determine la última etapa para la cual la figura correspondiente utiliza menos de 2014 cuadrados.

Sea  un trapecio $ABCD$ de bases $AB$  y $CD$ , inscrito en una circunferencia de radio $O$. Sea $P$ la intersección de las rectas $AD$ y $BC$ . Una circunferencia por $O$ y $P$  corta a los segmentos $BC$ y $AD$ en puntos interiores $F$ y $G$ respectivamente. Muestre que $BF=DG$ .

2.G. Sean ABC un triángulo isósceles con AB=AC, y P en AB y Q en AC puntostales que AP=CQ. Sea O la intersección de las mediatrices de PQ y AC.

a) Demostrar que APO y CQO son triángulos congruentes.
b) Demostrar que APOQ es un cuadrilátero cíclico.
c) Demostrar que AO es bisectriz del ángulo BAC.

(Nota: Para el inciso b puedes usar el resultado del a (sin demostración); para el cpuedes usar los resultados de a y b.)

1.C. ¿Cuántos números del 10 al 99 son tales que sus dígitos están en orden decreciente? Nota: 31 cumple pero no el 44 ni el 56.

2.2. Sea ABCD un cuadrilátero que cumple: AB=AD,AC=BC+CD y los ángulos ABC y CDA suman 180 grados. El triángulo ABC se gira con centro en A formando el triángulo AB'C', como se muestra en la figura, hasta que el punto B' coincida con D, formándose el triángulo ADC'. Encuentra la medida del ángulo ACC'.

2.1. Cierto día en el restaurante La Cascada prepararon para el buffet de desayuno una charola de cada uno de los siguientes siete platillos: huevos con tocino, frijoles con queso, huevos con jamón, huevos a la mexicana, chilaquiles rojos, chilaquiles con huevo y chilaquiles verdes. Se le ordena al mesero acomodar las charolas de los platillos, alineadas en la barra, de forma tal que las que contengan huevo queden juntas y que las que contengan chilaquiles queden juntas.

1.5.  Heberto tiene en su colección de figuras de acción de superhéroes dos Hulk, dos Superman,dos Ironman, dos Batman que quiere acomodar en línea sobre una repisa. Quiere que entre cada dos superhéroes iguales haya una cantidad diferente de figuras. Por ejemplo, si hay tres figuras entre los dos Hulk, no podría haber tres figuras entre los dos Batman. De cuántas maneras diferentes puede hacer esto?
 

1.3.  Sean ABCDEF un hexágono regular y M el punto medio del lado AB. Si O es el punto donde se cruzan los segmentos AD y ME ¿qué parte del área del hexágono es el área del triángulo OMD?

1.2.  Se dice que un número de cuatro cifras diferentes entre sí y distintas de cero es Mazatleco si al eliminar la mayor y la menor de las cifras, las dos restantes suman 10. ¿Cuántos números Mazatlecos hay?

1.1.  Se forman tres números enteros de tres cifras, abc,def,ghi, donde cada letra representa un dígito del 1 al 9 sin que se repitan. Si la suma de los tres números termina en 65 ¿cuál es el valor de dicha suma?