Problemas - Álgebra
XXVIII OMM Problema 5
Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=3$. Muestra que $$\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}} \geq \frac{3}{2}$$.
Modelación de problemas. Cálculo diferencial e integral I.
1. Se desea cercar un terreno de 2000m2, expresa una ecuación que defina la cantidad de cerco en función de su lado de mayor longitud. Nota: Es un terreno rectangular.
2. Expresa el área de una caja con base cuadrangular si tiene un volumen de 16m2 expresala en función de la longitud de su altura.
3.Se desea construir un cilindro de 40 cm3, expresa el área del cilindro en función de su radio.
P1. IMO 2014 - Sucesión Inifinita
Sea $a_0<a_1< a_2 < \cdots $ una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero $n \geq 1$ tal que $$a_n < \frac{a_0+a_1 + \cdots + a_n}{n} \leq a_{n+1}$$
1,5,13,25...
Con cuadrados de lado 1 se forma en cada etapa una figura en forma de escalera siguiendo el patron del dibujo
Por ejemplo, la primera etapa utiliza un cuadrado, la segunda utiliza 5. Determine la última etapa para la cual la figura correspondiente utiliza menos de 2014 cuadrados.
Todo es cuestión de álgebra
Sean $a,b,c$ y $d$ números todos distintos entre sí, tales que
$\frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=4$ y $ac=bd$
Determine el máximo valor de posible de
$\frac{a}{c} +\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}$
Inferencias con diofantina y clases residuales
Coeficientes y raíces en tres cuadráticas
2.6. Considere las ecuaciones cuadráticas
\begin{eqnarray}
x^2-b_1x+c_1&=&0\\
x^2-b_2x+c_2&=&0\\
x^2-b_3x+c_3&=&0
\end{eqnarray}
con $b_1.b_2,b_3,c_1,c_2,c_3$ números reales diferentes.
¿Es posible que los números $b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3$ sean las raíces de las ecuaciones cuadráticas en algún orden?
Ejercicio en diferencia de cuadrados
La diferencia de dos números es 2 y la diferencia de sus cuadrados es 8. ¿Cuánto vale su suma?
Ejercicio de asociación de ideas
Calcular el valor de $x^3+1/x^3$ si se sabe que $x+1/x=9$.
Ejercicio de reconocimiento de un producto notable
Calcular el valor de
$$\frac{2x+8}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}}$$
si se sabe que $\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-3}=2$.