Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Autoinversos respecto a un módulo
Sea $p$ un primo, $a$ un elemento de $\{1,2,3,...,p-1\}$ y $a$ tal que $a^2\equiv 1 \pmod {p}$. Encontrar los posibles valores de $a$.
Sin Euler estaríamos perdidos
Encontrar las tres últimas cifras de $2009^{9999}$ (argumento fiador requerido).
El PTF lo resuelve --si le piensas un poquito...
Encontrar todos los primos $q$ tales que $4+2^q$ es múltiplo de $2q.$
Un corolario del PTF
Si $p$ es un primo impar y $a$ es primo con $p$, entonces $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \pm 1 \pmod{p}$. (Por ejemplo, todo cuadrado perfecto primo con 5 termina en 1 o en 9 o en 4 o en 6.)
La clave está en los residuos
Encontrar todas las parejas $(x,y)$ de dígitos, tales que el número $2x1y9$ sea múltiplo de 101.
Elemental pero difícil
Encontrar todos los números enteros positivos de cuatro cifras de la forma $n=abab$ (la primera y la tercera cifras son iguales, así como la segunda y la cuarta) y tales que el producto de sus cifras divide a $n^2$.
Divisible entre la suma de sus cifras
Demostrar que en un conjunto de 18 números enteros positivos, consecutivos y menores o iguales a 2009, hay uno que es divisible entre la suma de sus cifras.
Factorizar y resolver
Encontrar todas las soluciones $(x,y)$ en enteros positivos de la ecuación diofantina $x^3=19+y^3$
Una diofantina muy difícil
Resolver la ecuación diofantina siguiente para enteros no negativos x,y,z:
$$x^2+y^4+z^6=2^{1111}$$
Inferencias de paridad
Sea $n\geq2$ un entero. Los números $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son elementos del conjunto $\{-1,1\}$ y cumplen la ecuación $x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_nx_1=0$. Demostrar que $ n $ es múltiplo de 4.
Adictos al Xbox
Los adolescentes de una preselección olímpica de matemáticas tienen una actividad de entretenimiento favorita: 17 son adictos al Xbox (conjunto A1), 13 a las series americanas de TV (A2), 8 a la resolución de problemas de concurso (A3), y 6 no tienen actividad recreativa conocida.
Pudorosa (segunda parte)
Decidir --con prueba-- si la ecuación diofantina $123x+426y=8$ tiene solución.
Una pudorosa propiedad del máximo común divisor
Si $a, b$ son enteros y cumplen $7a-38b=-2$ ¿qué se puede concluir sobre el máximo común divisor de a y b?
Cuadrilátero en un cubo
En un cubo de arista 6 los puntos medios B,D de dos aristas opuestas, y dos vértices opuestos A,C pero no en las aristas de los puntos medios B,D, forman un cuadrilátero ABCD. Encontrar el área de ese cuadrilátero.
¿Es múltiplo de 11? (Que lo diga Fermat.)
Decidir --con prueba-- si $61^{61}+71^{71}$ es divisible entre 11.
ExSel2_Pr1: Inclusión y exclusión... pero basta con razonarlo
¿Cuántos números enteros positivos no mayores que 1000 no son ni cuadrados ni cubos?
Elemental,... pero sólo si sabes usar el PTF
Encontrar todos los primos $q$ tales que $4+2^q$ es múltiplo de $2q.$
Progresión aritmética con un cuadrado
Demostrar que si una progresión aritmética de enteros positivos contiene un cuadrado perfecto entonces contiene infinitamente muchos cuadrados perfectos.
Los primos no se factorizan... excepto en la forma 1( p )
Encontrar todos los enteros positivos n tales que $n^{20}+n^{10}+1$ es un primo.
Otro de puros 1´s
Demostrar que todo primo impar n excepto el 5 divide a algun numero de la forma $111...11$ ($k$ digitos, todos unos).