Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Epitafio de Diofanto
Yace aquí Diofanto, la roca mirad;
Mediante arte algebraico, te dice su edad:
Un sexto de su vida fue niñez y alegría,
y un doceavo adolescente, mientras su barba crecía,
Y después de un séptimo Diofanto casaría.
Pasaron cinco años y un hijo nació.
Pero fue desgraciado pues ese hijo murió,
Cuando tenía la mitad de los años que su padre vivió.
Durante cuatro años más su consuelo halló,
En la ciencia del número y entonces murió.
Cuadrado mágico complementario
Demostrar que si cada entrada $a_{ij}$ en un cuadrado mágico $n\timesn$ se sustituye por su complemento a $n^2+1$ (i.e., por $a'_{ij}=n^2+1-a_{ij}$), entonces el cuadrado resultante también es mágico.
Completar cuadrado mágico
El cuadrado mágico siguiente es no normal (no usa los números del 1 al 9) y está incompleto. Llena las casillas vacías de tal manera que la suma de cada línea sea la misma.
| 67 | 43 | |
| 73 |
Condición necesaria para cuadrado mágico
Demostrar que en el cuadrado mágico normal $3\times3$, el 5 va en el centro. (Es decir, el 5 en el centro es condición necesaria para que se forme cuadrado mágico.)
Cálculo de la constante mágica
Se le llama suma mágica o constante mágica a la suma de una fila, una columna o una diagonal principal de un cuadrado mágico normal $n\timesn$. (Se le llama cuadrado mágico normal a un cuadrado mágico que usa los números del 1 al $n^2$.)
- Demostrar que la suma mágica es $s=n(n^2+1)/2$
- Demostrar que la suma mágica puede ser calculada colocando los números del 1 al $n^2$ en el orden natural por filas (los primeros $n$ en la primera fila, del $n+1$ a $2n$ en la segunda, etc.) y calculando la suma de cualquier diagonal principal.
Suma (o constante) mágica
Demostrar que al colocar los números del 1 al $n^2$ en una matriz $n\times n$ en el orden natural por filas (los primeros $ n $ en la primera fila, del $n+1$ a $2n$ en la segunda, etc.) la suma de los números en cualquier diagonal principal es la misma y es $s=n(n^2+1)/2$. Por ejemplo en
Cuadrilátero completo y puntos medios de sus diagonales
Consideremos $a$, $b$, $c$ y $d$ cuatro rectas no tres de ellas concurrentes (es decir, un cuadrilátero completo) y no dos de ellas paralelas. Demuestra que son colineales los puntos medios de las tres diagonales del cuadrilátero completo.
Nota: Las diagonales de un cuadrilátero completo son los segmentos que unen un punto de intersección de dos de sus lados con el de los otros dos lados.
Uno de cuadráticas
El cuadrado de un número disminuido en 924 es igual 20 veces dicho número. ¿Cuál es ese número? (Genera uno similar.)
Dos en uno
La suma de dos números es 36 (variante: 750) y su producto es 243 (variante: 78125). Encuentra los números. ¿Podrías plantear uno con la misma estructura?
Lourdes y su madre
La edad de Lourdes es un divisor primo (y no es 3) de la edad de su madre y ésta tenía 39 cuando aquélla nació . ¿Cuántos años tienen?
Perico de los Palotes
Un ejidatario de Soto le vende pericos y cotorras a un traficante que los lleva a USA. Este año le vendió 7 pájaros verdes: los pericos a 150 dólares y las cotorras a 100. Si el traficante le pagó 900 dólares ¿cuántos pericos le compró?
Life in plastic, it's fantastic
Teresa, la madre de Kira, es una chica barbie de la ciudad (étnica, al igual que su hija, y ya de cierta edad). En sus tiempos coleccionó muñecas Barbie de Mattel (el calificativo es importante, es decir, no son piratas). Kira cuenta que su madre las tiene todas y desea plantear a los usuarios de MaTeTaM el siguiente problema: si vendiera 30 le quedarían el triple que si vendiera 100 ¿cuántas barbies tiene la mamá de Kira?
Adopta un abuelito
El chico fresa es también un filántropo. De acuerdo a la política "adopta un abuelito" del gobernador, decidió contribuir a la felicidad de los 5 adultos mayores de su manzana. Deseando que disfrutaran de los placeres de la realidad virtual, les regaló sus juegos de video que compró el año pasado en McAllen (este año se casa y siente que su adicción al Xbox debe quedar en el pasado). Al primero le regaló la mitad de ellos menos 8; al segundo, la mitad de los restantes menos 8; al tercero, la mitad de los que le quedaban menos 8, y lo mismo hizo con el cuarto. Le quedaron 20 y se los dio al quinto adulto mayor de su manzana.
Una sucesión aritmética
El décimo término de una sucesión aritmética es 20 y la suma de sus primeros 10 términos es 65. Calcular el primer término.
Longitud del ciclo --de residuos potenciales
Sean $a,m$ enteros positivos y primos entre sí, y $o$ el exponente entero positivo más pequeño que cumple $a^o\equiv 1\pmod m$. Demostrar que si $a^u$ es equiresidual con el 1 (mod m) entonces $u$ es múltiplo de $o$.
La respuesta está en el ciclo
Calcular los residuos que dejan las potencias de 2 en la sucesión geométrica $2,2^2,2^3\ldots$ al dividir entre 17 y, sin hacer el cálculo directo, diga cuál es el residuo que deja $2^{21}$ en la división entre 17 analizando el patrón de los primeros 10 residuos.
Ciclos de residuos en una progresión geométrica
Sean $a$ y $g$ enteros positivos coprimos con un módulo $m$ (otro entero positivo), y consideremos los residuos que dejan (en la división entre $m$) los términos de la progresión aritmética $a,ag,ag^2,\ldots$. Demostrar que en esa sucesión de residuos éstos recurren (se repiten por bloques o ciclos), y que si $t$ es el número de términos del período o bloque recurrente, entonces $t\leq \phi(m)$
Solución de congruencias potenciales
Sea $a$ un entero positivo, coprimo con un primo $p$. Analizar la ecuación de congruencias $x^n \equiv a \pmod{p}$ en cuanto a sus posibles soluciones.
Raíces primitivas de un primo: una propiedad logarítmica
Sean $p$ un número primo y $g$ una de sus raíces primitivas. Demostrar que dos enteros positivos $i,j$ son equiresiduales en la división entre $p-1$ si y sólo si $g^i,g^j$ son equiresiduales en la división entre $p$
Un punto en el interior de un triángulo
Sean P un punto en el interior del triángulo ABC y un ángulo $\alpha$ dado. Los ángulos en la base AB del triángulo ABP miden $x$ y $90-2\alpha$, los ángulos en la base BC del triángulo BCP miden $90-2\alpha$ y $2\alpha-60$, y los de la base CA del triángulo CAP miden $60+\alpha$ y T. Encontrar el valor de $x$ en términos de $\alpha$. (¿Qué condiciones debe cumplir el valor $\alpha$.)