Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Lugar geométrico del punto medio
En un triángulo $ABC$, los puntos $M$ en $CA$ y $N$ en $BC$ se mueven de tal manera que $AM=BN$. Describir el lugar geométrico del punto medio $P$ de $MN$.
Un problema de velocidades realmente difícil
Un tren de pasajeros parte de la estación $A$ hacia la $B$ a las 13 horas. Después de 6 horas de viaje, el tren se detiene durante 2 horas debido a la acumulación de nieve en la vía. Después de esas 2 horas, el tren prosigue su viaje hacia la estación $B$, pero ahora con una velocidad 20 porciento mayor que la que mantuvo antes (la velocidad normal). Aún así, llegó a la estación $B$ con una hora de retraso. Al día siguiente, otro tren sale de la estación $A$ hacia la $B$ a las 13 horas y también tuvo que parar durante 2 horas, pero en un punto alejado de $A$ 150 km más que donde paró el primer tren.
La mosca de von Neumann
Un joven colega de von Neumann le planteó a éste (en un cocktail party del MIT) el siguiente problema:
Velocidad de un tren
Un tren es obligado a detenerse 16 minutos más de lo programado en una estación. Para recuperar el tiempo perdido, en los siguientes 80 km viaja a una velocidad 10 km/h más rápido que lo normal. Calcular la velocidad normal del tren.
Número de 4 cifras con 3 condiciones
Encontrar todos los números de cuatro cifras tales que:
- la suma de los cuadrados de las cifras extremas es 13;
- la suma de los cuadrados de las cifras medias es 85;
- al restarle 1089 sus cifras se invierten (las unidades pasan a ser millares, etc.)
Variación inversa: elemental pero...
Para llenar la alberca se dispone de dos mangueras $A$ y $B$. Un día que la alberca estaba vacía, Claudia abrió la manguera $A$ y la dejó abierta la tercera parte del tiempo con que la $B$ llena la alberca. Cuando llegó Bernardo, ambos abrieron la manguera $B$ y la dejaron abierta la tercera parte del tiempo que tarda la manguera $A$ en llenarla. Con esta agua, equivalente a $13/18$ de la capacidad de la alberca, se metieron a ejercitar la natación. Calcular los tiempos con que se llena la alberca con cada una de las mangueras, si se sabe que entre ambas se llena en 3 horas y 36 minutos.
Sucesión de cuadrados perfectos
Demostrar que todos los números de la sucesión 49, 4489,444889,... son cuadrados perfectos.
Construir un triángulo
Construir un triángulo dados un lado, la altura de uno de los vértices del lado dado (respecto a uno de los otros dos), y el radio de la circunferencia circunscrita.
Mediana a la hipotenusa
Demostrar que, en un triángulo rectángulo, la mediana a la hipotenusa mide la mitad que ésta.
Vértices y ortocentro de un equilátero
Dadas las coordenadas $A=(-\sqrt{3},2), B=(3\sqrt{3},2)$ de dos vértices de un triángulo equilátero $ABC$, y las de su ortocentro $H=(\sqrt{3},0)$, encontrar ls coordenadas del vértice $C$.
Ecuación de la tangente a una circunferencia
Demostrar que la tangente a la circunferencia $x^2+y^2=r$ en el punto $P=(x_1,y_1)$ está dada por la ecuación $xx_1+yy_1=r$
El promedio es el centro
El promedio de dos números reales está exactamente a la mitad del camino entre ellos. Demostrarlo.
La reina ha muerto. ¡Viva la reina!
(Una Gaga (g) en rápido crecimiento, y rompiendo con todos los clichés, ha destronado en 2010 a Madonna (m) --una ex-reyna del pop ya en lento decaimiento.) Dentro de 4 años m tendrá el doble de la edad de g y la diferencia de sus edades es múltiplo de 7. Calcular éstas si se sabe además que g es mayor de edad y m todavía no es adulto en plenitud.
Fan de Lady Gaga
Camila, la princesa de la prepa, se reunió con tres de sus amigas y les regaló copias en CD del album más premiado del año (The Fame Monster, edición de lujo). A la primera le obsequió la mitad de las que traía en su mochila más dos, a la segunda la mitad de los que le quedaban más dos, y a la tercera la mitad de los que le quedaban más dos. Después del reparto le quedó una copia para ella. ¿Cuántas copias de The Fame Monster traía Camila en su mochila?
Línea de Euler
Demuestra que, para un triángulo no equilátero, el circuncentro, el gravicentro y el ortocentro están sobre una misma recta.
Ejercicio con baricentro y circuncentro
En la figura se muestra un triángulo $ABC$ y su circuncírculo. El segmento que va desde el circuncentro $O$ (concurrencia de mediatrices) al gravicentro $G$ (concurrencia de medianas) se ha prolongado hasta cortar a la altura $AD$ en $H$.
Demostrar:
- (a) Los triángulos $OMG$ y $HAG$ son semejantes
- (b) El segmento $GH$ mide el doble que el $OG$
- (c) En $H$ concurren las tres alturas
Ejercicio con ortocentro
En la figura, $H$ es la intersección de las alturas, y la altura $AD$ del triángulo $ABC$ se ha prolongado hasta cortar el circuncírculo en $P$.
Demostrar:
- (a) El triángulo $HBC$ es isósceles
- (b) La recta $BC$ es mediatriz de $HP$
- (c) Los puntos $H$ y $P$ son simétricos respecto al lado $BC$
Ortocentro, reflexión axial, circuncírculo
Demostrar que, en cualquier triángulo, el punto simétrico del ortocentro respecto a un lado es un punto del circuncírculo.
Divisibilidad entre el producto de tres primos (P6)
Sean $p,q,r$ números primos positivos distintos. Muestra que si $pqr$ divide a $$(pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1$$ entonces $(pqr)^3$ divide a $$3((pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1)$$
Circunferencia por ortocentro y dos vértices de un acutángulo (P5)