Problemas - Combinatoria
Los problemas del nacional de la 12 ONMAS
Imposibilidad de nueve rectángulos
Una cuadrícula de $6\times6$ se va a recortar en rectángulos siguiendo las líneas de la cuadrícula. Muestra que no es posible hacer una división de la cuadrícula en 9 rectángulos diferentes.
Seccionado de un cubo de lado $3$
Un cubo de lado 3 se divide en 27 cubitos unitarios. ¿De cuántas formas podemos elegir tres cubitos de manera que sus centros estén en una misma recta? Nota: El centro de un cubito se localiza en el punto medio de una diagonal mayor.
Elección condicionada de 3
¿De cuántas maneras se pueden escoger 3 números diferentes del conjunto $C=\{1,2,3,...,19,20\}$ de manera que la suma de esos tres números sea múltiplo de 3?
Minimizar invitaciones
En el Messenger (MSN), para que dos personas estén en contacto, es suficiente con que una de ellas envíe una invitacíon a la otra y ésta la acepte. Luis tiene 114 amigos de la ONMAS 2009, y ninguno de ellos se tiene agregado al Messenger entre sí. Luis les propone a ellos la idea de ponerse en contacto. ¿Cuál es el número mínimo de invitaciones aceptadas para que Luis y todos sus amigos estén en contacto por el MSN?
Pesas y pesadas
Se tiene una balanza de dos platillos y un número $n$ de piezas de idéntica apariencia, pero una de ellas tiene un peso mayor al de las demás. ¿Cuál debe ser el valor máximo de $n$ para encontrar la pieza de peso diferente en a lo más cuatro pesadas?
Fichas en progresión aritmética
Como se ve en la ilustración se han jugado seis fichas de dominó. De acuerdo a las reglas del juego, se une 4 con 4, 1 con 1, y así sucesivamente. Para el caso de la figura, la suma de los puntos de cada ficha son 4, 5, 6, 7, 8, 9 y están en progresión aritmética, es decir, los números tomados en orden tienen una diferencia común, en este caso particular el 1.
¿De cuántos modos podemos jugar seis fichas de dominó, tomadas de una caja común de veintiocho, para que los números queden en progresión aritmética?
EGMO Problema 2 - Máxima cantidad de renglones en una tabla
Sea $n$ un entero positivo, encuentra el entero más grande $m$, en términos de $n$ con la siguiente propiedad:
Una tabla con m renglones y n columnas puede ser llenada con números reales de tal manera que dos diferentes renglones, $[a_1, a_2, \dots , a_n]$ and $[b_1, b_2, \ldots, b_n]$ satisfacen que $$\max(|a_1 − b_1|, |a_2 − b_2|,\dots , |a_n − b_n|) = 1.$$
©Traducido de la versión en ingles por Matetam.com
Juego de intercambios con piedras coloreadas
Sean $k$ y $n$ enteros positivos con $k\geq 2$. En una línea recta se tienen $kn$ piedras de $k$ colores diferentes. de tal forma que hay $n$ piedras de cada color. Un paso consiste en intercambiar de posición dos piedras adyacentes. Encontrar el menor entero positivo $m$ tal que siempre es posible lograr con a lo sumo $m$ pasos que las $n$ piedras de cada color queden seguidas si:
- a) $n$ es par,
- b) $n$ es impar y $k=3$
Por 2, por 3 o más uno
En la pizarra está escrito el número 2. Ana y Bruno juegan alternadamente, comenzando por Ana. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que se obtiene de aplicar exactamente una de las siguiente operaciones: multiplicarlo por 2 o multiplicarlo por 3 o sumarle 1. El primero que obtenga un resultado mayor o igual a 2011 gana. Decidir quién tiene una estrategia ganadora y describirla.