Números

Demuestre que no existen 1999 primos en progresión aritmética, todos ellos menores que 12345. (Nota: Una colección de números está en progresión aritmética si es de la forma $a, a+r, a+2r,\ldots, a+br.$)

Encuentre todos los números primos positivos $p$ tales que $8p^4 - 3003$ también es un primo positivo.

¿Para qué enteros $n \geq 2$ se pueden acomodar los números del 1 al 16 en los cuadros de una cuadrícula de $4×4$ (un número en cada cuadro, sin repetir números) de tal manera que las 8 sumas de los números que quedan en cada fila y en cada columna sean múltiplos de $n$, y que estos 8 múltiplos sean todos distintos entre sí?
 

a) Encuentra un subconjunto $B$ del conjunto $A = \{1, 2, 3, \ldots, 40\}$, de manera que $B$ tenga 26 elementos y que ningún producto de dos elementos de $B$ sea un cuadrado perfecto.
b) Demuestra que no se puede obtener un subconjunto de $A$ de 27 elementos con la característica mencionada en el inciso anterior.

En una Olimpiada de Matemáticas los concursantes están ocupando todos los asientos de un salón rectangular donde los asientos están alineados en filas y columnas de tal manera que hay más de dos filas y en cada fila hay más de dos asientos. Al inicio del examen un profesor les sugiere que se deseen suerte dándose la mano; cada uno de los concursantes estrecha la mano de los concursantes que están junto a él (adelante, atrás, a los lados y en diagonal) y sólo a éstos. Alguien observa que se dieron 1020 apretones de manos ¿Cuántos concursantes hay?

Sea $f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3)+1$ y $p$ un número primo impar. Pruebe
que existe un entero $ n $ tal que $p$ divide a $f(n)$ si y sólo si existe un entero
$m$ tal que $p$ divide a $m^2 - 5$.

Muestre que $100$ divide a la suma de potencias $$1+11^{11}+111^{111}+\ldots+1111111111^{1111111111}$$

Sea $p$ un número primo, diga cuántas cuartetas distintas $(a, b, c, d)$ existen, con a, b, c y d enteros y $0 \leq a, b, c, d \leq p-1$, tales que $ad - bc$ sea múltiplo de $p$.

Una compañía de $ n $ soldados es tal que:

• $ n $ es un número capicúa (se lee igual al derecho y al revés, como 15651, 9436349).
• Si los soldados se forman:

--de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila;
--de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila;
--de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.

a) Hallar el menor $n$ que cumple las condiciones.

b)Demostrar que hay una infinidad de valores $ n $ que las satisfacen.

Encuentre dos números enteros $a$ y $b$ tales que:

• $b^2$ es múltiplo de $a$;
• $a^3$ es múltiplo de $b^2$;
• $b^4$ es múltiplo de $a^3$;
• $a^5$ es múltiplo de $b^4$;
• pero $b^6$ no es múltiplo de $a^5$.