Números

En los vértices de un cubo están escritos 8 enteros positivos distintos, uno
en cada vértice. Y en cada una de las aristas está escrito el máximo común
divisor de los números que están en los 2 vértices que la forman. Sean $A$ la suma de los números escritos en las aristas y $V$ la suma de los números escritos en los vértices.

• (a) Muestra que $\frac{2}{3}A\leq V$.
• (b) ¿Es posible que $A = V$?

Sean $1=d_1 < d_2 < d_3 \cdots < d_k = n$ los divisores del entero positivo $ n $. Encuentra todos los números $ n $ tales que $n = d_2 ^ 2 + d_3^3$.

Sea $ab$ un número de dos dígitos. Un entero positivo $ n $ es “pariente” de $ab$ si:

• El dígito de las unidades de $n$ también es $b$.
• Los otros dígitos de $n$ son distintos de cero y suman $a$.

Por ejemplo, los parientes de 31 son 31, 121, 211 y 1111. Encuentra todos los números de dos dígitos que dividen a todos sus parientes .

Determina todas las parejas $(a,b)$ de enteros distintos de cero para las cuales es posible encontrar un entero positivo $x$ primo relativo con $b$ y un entero cualquiera $y$, tales que en la siguiente lista hay una infinidad de números enteros:
$$\frac{a+xy}{b},\frac{a+xy^2}{b^2},\frac{a+xy^3}{b^3},\ldots,\frac{a+xy^n}{b^n},\ldots$$

Tres enteros distintos forman una terna compatible si alguno de ellos, digamos $ n $, cumple que cada uno de los otros dos es, o bien divisor, o bien múltiplo de $ n $. Para cada terna compatible de números entre 1 y 2002 se calcula la suma de los tres números de la terna. ¿Cuál es la mayor suma obtenida? ¿Cuáles son las ternas en las que se obtiene la suma máxima?

Sean $n$ un entero positivo. ¿Tiene $n^2$ más divisores positivos de la forma $4k+1$ o de la forma $4k-1$?

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que $$\left( g(m) + n\right) \left(m + g(n) \right) $$
es un cuadrado perfecto para todo $m, n \in \mathbb{N}$.

Dados dos enteros positivos $n$ y $a$, se forma una lista de 2001 números como sigue:

• el primer número es $a$;
• a partir del segundo, cada número es el residuo que se obtiene al dividir al cuadrado del anterior entre $n$.

A los números de la lista se les ponen los signos $+$ y $-$, alternadamente
empezando con $+$. Los números con signo así obtenidos se suman, y a esa suma se le llama suma final para $n$ y $a$.

¿Para qué enteros $n \geq 5$ existe alguna $a$ tal que $2 \leq a \leq n/2$, y la suma final para $n$ y $a$ es positiva?

Encuentra todos los números de 7 dígitos que son múltiplos de 3 y de 7,
y cada uno de cuyos dígitos es 3 o 7.

Para $a$ y $b$ enteros positivos, no divisibles entre $5$, se construye una lista de números como sigue:

• El primer número es 5 y,
• a partir del segundo, cada número se obtiene multiplicando el número que le precede (en la lista) por $a$, y sumándole $b$.

(Por ejemplo, si $a = 2$ y $b = 4$, entonces los primeros tres números de la
lista serán: 5, 14, 32 (pues $14 = 5\cdot2 + 4$ y $32 = 14\cdot2 + 4$.)

¿Cuál es la cantidad máxima de primos que se pueden obtener en la lista antes de obtener el primer número no primo?