Problemas
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Construir un cuadrado con tres puntos dados
Se tienen dados, un vértice V de un cuadrado y dos puntos A y B. Los puntos A y B se encuentran sobre dos lados (o prolongaciones de los lados) del cuadrado antes mencionado. Estos dos lados son precisamente los opuestos al vértice V, es decir, los que no lo contienen.
Usando regla y compás, construye el cuadrado.
— Problema sugerido por Hugo Espinosa Pérez 10/Oct/2008 15:07
Un problema de igualdad de areas
Sean $ABCD$ un paralelogramo, $ E $ un punto sobre la recta $AB$, mas allá de $ B $, $ F $ un punto sobre la recta $AD$, mas allá de $ D $, y $ K $ el punto de intersección de las rectas $ED$ y $BF$. Demuestre que los cuadriláteros $ABKD$ y $CEKF$ tienen la misma área.
Linea media bisectriz y cuerda
La cuerda del incírculo del triángulo ABC, definida por los puntos de tangencia P y Q en los lados b y c respectivamente, concurre con la línea media de los lados a y b y la bisectriz del ángulo B.
Menelao en monterrey 97
En un triángulo ABC, P y P' son dos puntos sobre el lado BC, Q sobre CA y R sobre AB, de tal manera que AR/RB = BP/PC = CQ/QA = CP'/P'B. Sea G el centroide del triángulo ABC y K el punto de intersección de AP' con RQ. Demostrar que P, G y K son colineales.
Dos segmentos iguales
Se tiene un triángulo agudo; en el cual existen dos círculos con diámetros AB y BC. Sean los puntos E y F donde cortan dichos círculos al otro respectivo lado. Se construyen las rectas AE y CF y los puntos P y Q donde ellas cortan a los círculos
Demostrar que BQ = BP
alturas de un paralelogramo y areas
Un paralelogramo ABCD tiene el angulo en D obtuso. Desde D se bajan perpendiculares a AB y BC, las cuales cortan a estos lados en M y N respectivamente. Si DB=DC=50 y DA=60 encontrar DM+DN.
alturas de un paralelogramo y areas
Un paralelogramo ABCD tiene el ángulo en D obtuso. Desde D se bajan perpendiculares a AB y BC, las cuales cortan a estos lados en M y N respectivamente. Si DB=DC=50 y DA=60 encontrar DM+DN.
Ubicación del ortocentro con una sola altura
Sean AB cuerda de una circunferencia y P un punto en AB tal que AP=2PB. Sea DE la cuerda perpendicular a AB que pasa por P. Demostrar que el punto medio Q de AP es el ortocentro del triángulo ADE.
Solución de una cuadrática (Problema 3, regiones 2008)
Sea dado un segmento AB de longitud b. Por B se levanta una perpendicular a AB, y sobre ella se fija un punto O tal que BO=a/2. Se traza a continuación la circunferencia de centro O y radio a/2. La recta AO corta en P y Q a la circunferencia (P más cerca de A que Q). Si llamamos x a la longitud de AP, explicar por qué y cómo esta construcción resuelve la ecuación cuadrática $x^2+ax=b^2$. (Nota: de hecho sólo obtiene la raíz positiva de la ecuación, si es que existe.)
ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 6
En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD. Se sabe que el centro del círculo inscrito en el triángulo BCD coincide con el centro del círculo circunscrito del triángulo ABC. Calcular los ángulos del triángulo ABC.
ONMAS 2008, Nivel 1, Problema 2
Sean G una circunferencia de centro O y G’ una circunferencia que pasa por O. Sean A y B los puntos en que G interseca a G’ y escojamos un punto C en G’ distinto de A y B. Tracemos las líneas AC y BC y llamemos D y E a los puntos donde estas líneas cortan a G, respectivamente. Demuestra que AE es paralela a DB.
Longitud Mínima
Sea ABC un triángulo y P un punto que se mueve sobre la recta que contiene al lado BC. Consideremos M y N los pies de las perpendiculares trazadas desde P sobre los lado AB y AC respectivamente. Encuentra el punto P para el cual MN tiene longitud mínima.
Longitud mínima - caso particular
Sean $ABC$ un triángulo rectángulo en $ A $, y $ P $ un punto móvil en la hipotenusa $ BC $.
El problema 6 de la OMM 2005
Como se sabe, uno de los 6 problemas del concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas es muy difícil –incluso para aquellos concursantes que han tenido un buen entrenamiento. He aquí el enunciado del problema 6 del concurso nacional de 2005.
Sea $ABC$ un triángulo y $AD$ la bisectriz del ángulo $BAC$, con $D$ sobre $BC$. Sea $E$ un punto sobre el segmento $BC$ tal que $BD = EC$. Por $E$ traza $l$ la recta paralela a $AD$ y considera un punto $P$ sobre $l$ y dentro del triángulo. Sea $G$ el punto donde la recta $BP$ corta al lado $AC$ y sea $F$ el punto donde la recta $CP$ corta al lado $AB$. Muestra que $BF = CG$.
El Tesoro Pirata
En el mapa está un roble, un pino y un mezquite. Las instrucciones son: camina desde el mezquite hacia el pino, gira a la izquierda en ángulo recto, camina la misma distancia que hay del mezquite al pino, y clava ahí una estaca X; después regresa al mezquite, camina hacia el roble, gira a la derecha en ángulo recto, camina la misma distancia que hay entre el roble y el mezquite, y clava ahí una estaca Y. El tesoro está enterrado en el punto medio del segmento XY. ¿Qué hacer si el mezquite ha desaparecido?
Problema 1, OMM 2005
Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, y $P$ un punto cualquiera del segmento $BC$ ($P$ no es ni $B$ ni $C$). La circunferencia circunscrita al triángulo $BPO$ corta en $R$ al segmento $AB$ ($R$ no es $A$ ni es $B$), y la circunferencia circunscrita al triángulo $COP$ corta en $Q$ al segmento $CA$ ($Q$ no es $C$ ni es $A$).
i)Demostrar que el triángulo $PQR$ es semejante al $ABC$ y que $O$ es ortocentro de $PQR$.
ii)Demuestrar que las circunferencias circunscritas a los triángulos $BPO$, $COP$ y $PQR$ son todas del mismo tamaño.
QUINTO EXAMEN SELECTIVO
Problema 1 Dado un triángulo acutángulo ABC se trazan las circunferencias c1 de diámetro AB y c2 de diámetro BC y se ubican las intersecciones M y N y P y Q de las alturas CC’ y BB’ (vistas como rectas) con c1 y c2, respectivamente. Demostrar que los puntos M, N, P y Q pertenecen a una misma circunferencia.
Teorema de Pitágoras
Un triángulo de lados $a, b, c$, con $c > a, b$ es triángulo rectángulo sí y sólo si $c^2 = a^2 + b^2$.
Tesoro Pirata Disfrazado
El problema del tesoro pirata puede ser planteado de la siguiente manera. Sean dados los triángulos MPX y MRY, ambos isósceles y rectángulos en P y R respectivamente. Demostrar que la mediatriz del segmento PR pasa por el punto medio de XY.
Triángulo rectángulo -enunciado
Considere un triángulo rectángulo con longitudes a, b y c, la hipotenusa es de longitud c, sea r la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. Demuestre que r es igual a la mitad de a+b-c.