Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
P3. Los caminos ascendentes completos
Sea $n$ un entero positivo. Considera un tablero de $2 \times n$ dividido en cuadrados de $1 \times 1$. Cada cuadrado del tablero se etiqueta con un número distinto elegido de entre el $1$ al $2n$ elegido exactamente una vez.
Cudarícula de lados $(2^n - 1)$ y $(2^n + 1)$ (P5)
Una cuadrícula con lados de longitudes $(2^n - 1)$ y $(2^n + 1)$ se quiere dividir en rectángulos ajenos con lados sobre líneas de la cuadrícula y con un número de cuadraditos de $1 \times 1$ dentro del rectángulo igual a una potencia de $2$.
Encuentra la menor cantidad de rectángulos en los que se puede dividir la cuadrícula.
Nota: El $1$ es considerado una potencia de $2$ pues $2^0 = 1$.
P5. Jugando con ecuaciones raras
Alicia y Bazza juegan al $inekoalaty$, un juego para dos jugadores cuyas reglas dependen de un número real positivo $\lambda$ conocido por ambos. En el turno $n$ del juego (comenzando con $n=1$) ocurre lo siguiente:
- Si $n$ es impar, Alicia elije un número real no negativo $x_n$ tal que: $$x_1 + x_2 + \dots + x_n \leq \lambda n$$
- Si $n$ es par, Bazza elije un número real no negativo $x_n$ tal que: $$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \leq n$$
Si un jugador no puede elegir un $x_n$ adecuado, el juego termina y el otro jugador gana. Si el juego continúa indefinidamente ningún jugador gana. Ambos jugadores conocen todos los números elegidos.
P1. Rectas soleadas
Una recta del plano se llama $soleada$ si no es paralela ni al eje $x$, ni al eje $y$, ni a la recta $x+y=0$.
Sea $n \geq 3$ un entero dado. Determine todos los enteros no negativos $k$ para los que existen $n$ rectas distintas del plano tal que:
- Para cualesquiera enteros positivos $a$ y $b$ con $a+b \leq n+1$, el punto $(a,b)$ está en al menos una de las rectas
- Exactamente $k$ de estas $n$ rectas son soleadas
P6. Borrando pizarrón hasta que ambos sumen un múltiplo de 3
Ana y Beto juegan en un pizarrón donde se han colocado los números del 1 al 2024. En cada turno Ana escoge tres números $a,b,c$ escritos en el pizarrón y en su turno Beto los borra y reescribe alguno de los números:
$$a+b-c, a-b+c, b+c-a$$
El juego termina cuando quedan solamente dos números y Ana no puede hacer su jugada. si la suma de los números que quedan al final es múltiplo de 3, Beto gana. En caso contrario, Ana gana. ¿Quién puede asegurar su victoria?
P5. Conjuntos infinitos iguales y uno en sucesión aritmética
Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos de números reales positivos tales que:
- Para cualquier par de elementos $u \geq v$ de $A$, se cumple que $u+v$ es elemento de $B$
- Para cualquier par de elementos $s > t$ de $B$, se cumple que $s-t$ es un elemento de $A$
Prueba que $A=B$ o existe un número real $r$ tal que $B=\{2r, 3r, 4r, \dots \}$
P6. Tablero 4x4 y paridad de coloreado
P4. Ana y Beto coloreando cuadrados
Hay 6 cuadrados en una fila. Cada uno se etiqueta con el nombre de Ana o Beto y con un número del 1 al 6, usando cada cada número sin repetir. Ana y Beto juegan a pintar cada cuadrado siguiendo el orden de los números en las etiquetas. Quien pinte el cuadrado será la persona cuyo nombre esté en la etiqueta. Al pintarlo, la persona podrá elegir si pintar el cuadrado de rojo o azul. Beto gana si al final hay la misma cantidad de cuadrados azules como rojos, y Ana gana en caso contrario. ¿En cuántas de todas las posibles maneras de etiquetar los cuadrados puede Beto asegurar su cictoria?
El siguiente es un ejemplo de una asignación de etiquetas.
P2. Papelitos con números y fracciones con raíces cuadradas racionales.
Se tienen 50 papelitos con los números del 1 al 50. Se quieren tomar 3 papelitos de tal manera que a cualquiera de los 3 números, dividido entre el máximo común divisor de los otros dos, se le puede sacar la raíz cuadrada de tal manera que quede un número racional.
¿Cuántas tercias (no ordenadas) de papelitos cumplen esta condición?
Nota: Un número es racional si se puede escribir como la división de 2 enteros.
P4 Un mago y sus fichas B/N
Dada una colección de varias fichas que pueden ser negras o blancas y que tienen, cada una, un número escrito en ellas, un mago hace el siguiente movimiento: Toca 2 de las fichas con distinto número y color, y la de número menor se convierte en una ficha idéntica a la otra.
Sea $n$ un entero mayor o igual a 2. Para cada uno de los números del 1 al $n$, el mago pone en la mesa una ficha negra o blanca con ese número. Luego hace su $movimiento$ para ir modificando la colección.
P2 Germán y su obsesión con los polígonos regulares.
Los números del 1 al 2000 se encuentran colocados sobre los vértices de un polígono regular de 2000 lados, uno en cada vértice, de manera que se cumple lo siguiente: Si cuatro enteros $A, B, C, D$ cumplen que $1\leq A < B < C < D \leq 2000$, entonces el segmento que une los vértices donde están los números $A$ y $B$ y el segmento que une los vértices donde están $C$ y $D$ no se intersectan en el interior del polígono. Demuestra que existe un entero positivo que es un cuadrado perfecto tal que el número diametralmente opuesto a él no es un número cuadrado perfecto.
6.- Punto ideal de semejanza
Encuentra todos los $n \geq 3$, tales que existe un polígon convexo de $n$ lados $A_1A_2 \dots A_n$, que tenga las siguientes características:
- todos los ángulos internos de $A_1A_2 \dots A_n$ son iguales
- no todos los lados de $A_1A_2 \dots A_n$ son iguales
- existe un triángulo $T$ y un punto $O$ en el interior de $A_1A_2 \dots A_n$ tal que los $n$ triángulos $OA_1A_2$, $OA_2A_3$, $\dots$, $OA_{n-1}A_n$ son todos semejantes a $T$
NOTAS:
5.- Borrando divisores de un pizarrón
Sea $n > 1$ un entero positivo y sean $d_1 < d_2 < ... < d_m$ sus $m$ enteros positivos de manera que $d_1 = 1$ y $d_m = n$. Lalo escribe los siguientes $2m$ números en un pizarrón:
$d_1 , d_2 , ... , d_m , d_1 + d_2 , d_2 + d_3 , ... , d_{m-1} + d_m , N$
donde $N$ es un entero positivo. Después Lalo borra los números repetidos (por ejemplo, si un número repetido aparece 2 veces, el borrará uno de los dos). Después de esto, Lalo nota que los números en el pizarrón son precisamente la lista completa de divisores positivos de $N$. Encuentra todos los posibles valores del entero positivo $n$.
2.- Ataque de torres en un tablero cúbico.
Sea $n$ un entero positivo. David tiene 6 tableros de ajedrez de $n \times n$ que ha dispuesto de manera que formen las 6 caras de un cubo de $n \times n \times n$. Se dice que dos casillas $a$ y $b$ de este nuevo tablero cúbico están alineadas si podemos conectarlas por medio de un camino de casillas $a = c_1, c_2, \dots, c_m = b$ de manera que cada pareja de casillas consecutivas en el camino comparten un lado, y los lados que la casilla $c_i$ comparte con sus vecinas son lados opuestos del cuadrado $c_i$, para $i = 2, 3, \dots, m-1$. Diremos que dos torres colocadas sobre el tablero se atacan; si las casillas que ocupan están alineadas. David coloca algunas torres sobre el tablero de forma que ninguna ataque a otra.
Secuencia de conjuntos no vacios (OMM 2021 P6)
Determina todos los conjuntos no vacíos $C_1, C_2, C_3, \dots$, tales que cada uno de ellos tiene un número finito de elementos y todos sus elementos son enteros positivos, con la siguiente propiedad: Para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$, la cantidad de enteros positivos en el conjunto $C_m$ más la cantidad de enteros positivos en $C_n$ es igual a la suma de los elementos en el conjunto $C_{m+n}$.
Nota: Al denotar con $|C_k|$ la cantidad de elementos de $C_k$ y con $S_k$ la suma de los elementos de $C_k$, la condición del problema es que para $m$ , $n$ enteros positivos se cumple
$$|C_n|+|C_m| = S_{m+n}$$La hormiga, el mago y la lava (OMM 2021 P3)
Sean $m,n \geq 2$ dos enteros. En una cuadrícula de $m \times n$, una hormiga empieza en cuadrito inferior izquierdo y quiere camina al cuadradito superior derecho. Cada paso que da la hormiga debe ser a un cuadrito adyacente, de acuerdo a las siguientes posibilidades $\uparrow$, $\rightarrow$ y $\nearrow$. Sin embargo, un malvado mago ha dejado caer lava desde arriba y ha destruido algunos cuadritos de forma tal que:
Problema clásico con solución atípica
En una cuadrícula de $ n \times n$ se escriben los números del 1 al $n^2$ en orden, por renglones, de manera que en el primer renglón aparecen los números del 1 al n, en el segundo los números del n+1 al 2n, y así sucesivamente. Una operación permitida en la cuadrícula consiste en escoger cualesquiera dos cuadraditos que compartan un lado y sumar (o restar) el mismo número entero a los dos números que aparecen esos dos cuadraditos. Por ejemplo, aquí abajo se muestran dos operaciones sucesivas permitidas en una cuadrícula de 4x4: primero restando 7 a los cuadraditos sombreados y luego sumando 5 a los sombreados.
Cuadritos unitarios distanciados
Considera un tablero de $n \times n$, con $n \geq 5$. Dos cuadritos unitarios se dice que son distanciados si no se encuentran en el mismo renglón ni en renglones consecutivos y tampoco en la misma columna ni en columnas consecutivas. Se toman 3 rectángulos con vértices y lados sobre los puntos y lineas del tablero de manera que si dos cuadritos unitarios pertencen a distintos rectángulos entonces son distanciados . ¿De cuántas maneras es posible hacer esto?
Problema 2. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas
Sean $n$ un entero positivo y $k$ un entero entre $1$ y $n$. Se tiene un tablero de $n \times n$ color blanco. Se hace el siguiente proceso. Se dibujan $k$ rectángulos con lados de longitud entera, con lados paralelos a los del tablero y tales que su esquina superior derecha coincide con la del tablero. Luego, estos $k$ rectángulos se rellenan de negro. Esto deja una figura blanca en el tablero. ¿Cuántas figuras blancas diferentes podemos obtener, que no se puedan obtener haciendo el proceso con menos de $k$ rectángulos?
Problema 1 - IMO 2015 - Conjunto de puntos y mediatrices.
Decimos que un conjunto finito $\cal{S}$ de puntos en el plano es equilibrado si para cada dos puntos distintos $A$ y $B$ en $\cal{S}$ hay un punto $C$ en $\cal{S}$ tal que $AC = BC$. Decimos que $\cal{S}$ es libre de centros si para cada tres puntos distintos $A$, $B$, $C$ en $\cal{S}$ no existe ningún punto $P$ en $\cal{S}$ tal que $PA=PB=PC$.
- Demostrar que para todo $n \geq 3$ existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado.
- Determinar todos los enteros $n \geq 3$ para los que existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado y libre de centros.