Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Numeros enteros positivos
Demuestre que sin importar que numeros enteros naturales sean $m$ y $n$, el numero $mn ( m + n ) ( m - n )$ es divisible por 3.
Problema 1(IMO 2011)
Para cualquier conjunto de cuatro enteros positivos distintos se denota la suma con
Problema 5 (IMO 2011)
Sea $f$ una función de los enteros a los enteros positivos. Suponga que, para cualesquiera dos enteros $m,n$, la diferencia $f(m)-f(n)$ es divisible entre $f(m-n)$. Demostrar que, para todos los enteros $m$ y $n$ con $f(m)\leq f(n)$, el número $f(n)$ es divisible entre $f(m)$.
Diofantina con tres primos (P4)
Encuentra todos los enteros positivos $p$, $q$ y $r$, con $p$ y $q$ números primos, que satisfacen la igualdad:
$$\frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1} - \frac{1}{(p+1)(q+1)} = \frac{1}{r}$$
Desliz tras desliz te lleva a 5 (P3)
Aplicar un desliz a un entero $n \geq 2$ significa tomar cualquier primo $p$ que divida a $n$ y remplazar $n$ por $\frac{n + p^2}{p}$.
Se comienza con un entero cualquiera mayor o igual que $5$ y se le aplica un desliz. Al número así obtenido se le aplica un desliz, y así sucesivamente se siguen aplicando deslices. Demuestra que sin importar los deslices aplicados, en algún momento se obtiene el número 5.
Caracterización de enteros con parte entera (Problema 1, OIM)
Sea $r \geq 1$ un número real que cumple la siguiente propiedad:
Para cada pareja de números enteros positivos $m$ y $n$, con $n$ múltiplo de $m$, se tiene que $\lfloor nr \rfloor$ es múltiplo de $\lfloor mr \rfloor$.
Probar que $r$ es un numero entero.
Nota: Si $x$ es un numero real, denotamos por $\lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x$.
Divisibilidad entre el producto de tres primos (P6)
Sean $p,q,r$ números primos positivos distintos. Muestra que si $pqr$ divide a $$(pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1$$ entonces $(pqr)^3$ divide a $$3((pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1)$$
Huevos en la canasta
Cuántos huevos hay en la canasta si
Un cubo perfecto
Un cierto número (entero positivo) multiplicado por 360 resulta en un cubo perfecto. Encontrarlo.
19 números en un tablero circular
En un tablero circular hay 19 casillas numeradas en orden del 1 al 19 (a la derecha del 1 está el 2, a la derecha de éste está el 3 y así sucesivamente, hasta el 1 que está a la derecha del 19). En cada casilla hay una ficha. Cada minuto cada ficha se mueve a su derecha el número de la casilla en que se encuentra en ese momento más una; por ejemplo, la ficha que está en el lugar 7 se va el primer minuto 7 + 1 lugares a su derecha hasta la casilla 15; el segundo minuto esa misma ficha se mueve a su derecha 15 + 1 lugares, hasta la casilla 12, etc. Determinar si en algún momento todas las fichas llegan al lugar donde empezaron y, si es así, decir cuántos minutos deben transcurrir.
Función de un primo con 6 divisores
Encontrar todos los números primos $p$ para los cuales el número $p^2+11$ tiene exactamente 6 divisores positivos (el 1 y el número incluidos).
Soluciones enteras bajo condición de divisibilidad
Encontrar, con prueba, todas las parejas $(a,b)$ de enteros positivos tales que $ab^2+b+7$ divide a $a^2b+a+b$
Cuadrado perfecto de cuatro cifras
Sea $m$ un cuadrado perfecto de cuatro cifras menores que 9. Sumando una unidad a cada una de las cifras de $m$ se forma otro cuadrado perfecto. Encontrar $m$.
La factorización prima es única
Encontrar todos los pares $(x,y)$ de enteros que satisfacen la ecuación $2^x+1=y^2$
Diez consecutivos son divisores --pero no 11
Encuentra todos los enteros positivos $N$ con la siguiente propiedad: entre todos los divisores positivos de $N$, hay 10 números consecutivos, pero no 11.
La arista es el MCD de sus vértices
En los vértices de un cubo están escritos 8 enteros positivos distintos, uno
en cada vértice. Y en cada una de las aristas está escrito el máximo común
divisor de los números que están en los 2 vértices que la forman. Sean $A$ la suma de los números escritos en las aristas y $V$ la suma de los números escritos en los vértices.
- (a) Muestra que $\frac{2}{3}A\leq V$.
- (b) ¿Es posible que $A = V$?
Expresado como suma de potencias --de sus primeros dos divisores
Sean $1=d_1 < d_2 < d_3 \cdots < d_k = n$ los divisores del entero positivo $ n $. Encuentra todos los números $ n $ tales que $n = d_2 ^ 2 + d_3^3$.
P1 OMM 2006. Los parientes de un número son sus múltiplos
Sea $ab$ un número de dos dígitos. Un entero positivo $ n $ es “pariente” de $ab$ si:
- El dígito de las unidades de $n$ también es $b$.
- Los otros dígitos de $n$ son distintos de cero y suman $a$.
Por ejemplo, los parientes de 31 son 31, 121, 211 y 1111. Encuentra todos los números de dos dígitos que dividen a todos sus parientes .
P3 OMM 2005. Infinidad de enteros en sucesión de fracciones
Determina todas las parejas $(a,b)$ de enteros distintos de cero para las cuales es posible encontrar un entero positivo $x$ primo relativo con $b$ y un entero cualquiera $y$, tales que en la siguiente lista hay una infinidad de números enteros:
$$\frac{a+xy}{b},\frac{a+xy^2}{b^2},\frac{a+xy^3}{b^3},\ldots,\frac{a+xy^n}{b^n},\ldots$$
P5 OMM 2002. Ternas compatibles
Tres enteros distintos forman una terna compatible si alguno de ellos, digamos $ n $, cumple que cada uno de los otros dos es, o bien divisor, o bien múltiplo de $ n $. Para cada terna compatible de números entre 1 y 2002 se calcula la suma de los tres números de la terna. ¿Cuál es la mayor suma obtenida? ¿Cuáles son las ternas en las que se obtiene la suma máxima?