Combinatoria

Se desea embaldosar un patio cuadrado de lado $N$ entero positivo. Se dispone de dos tipos de baldosas: cuadradas de $5\times5$, y rectangulares de $1\times3$. Determine los valores de $N$ para los cuales es posible hacerlo. Nota: el patio debe quedar completamente cubierto sin que las baldosas se sobrepongan.

Un jugador coloca una ficha en una casilla de un tablero $m\timesn$ dividido en cuadrados de tamaño $1\times1$. El jugador mueve la ficha de acuerdo a las siguientes reglas:

• En cada movida, el jugador mueve la ficha a un cuadrado que comparte un lado  con el cuadrado en que se encuentra.
• El jugador no puede mover la ficha a un cuadrado que ha ocupado previamente.
• Dos movimientos consecutivos no pueden tener la misma dirección.

El juego termina cuando el jugador no puede mover la ficha. Determine todos los valores de $m$ y $ n $ tales que, al colocar la ficha en algún cuadrado, todos los cuadrados pueden ser ocupados durante el juego.

 

Cada uno de los 61 competidores en el concurso estatal saludó de mano al menos a otro competidor. Demostrar que alguno de ellos saludó de mano al menos a dos competidores.

Sea S el conjunto de puntos (i,j) de coordenadas enteras en el plano, con i,j=0,1,2,...,9.

Demuestra que una gráfica $G$ es bipartita si y sólo si su número cromático $\chi(G)$ es 2.

Sea $S$ el conjunto de puntos $(i,j)$ de coordenadas enteras en el plano, con $i,j=0,1,2,\ldots,n$.

• a) ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro puntos de $S$ de manera que formen un cuadrado con lados paralelos a los ejes de coordenadas?
• b) ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro puntos en $S$ de manera que formen un cuadrado?

Cuantos números de 3 cifras, que la suma de sus cifras sea par se pueden formar con los digitos 1,2,3...9

En una muestra de 50 famosas, 35 han recurrido a la mamoplastia, 20 a la rinoplastia y 15 a la liposucción. Se logró averiguar también que 15 se habían practicado mamo y rinoplastia, 12 rinoplastia y liposucción, y 10 liposucción y mamoplastia. Se supo adicionalmente que 8 se habían sometido a las tres intervenciones estéticas.

Ingresaron 100 estudiantes a la facultad. De ellos, 40 son del sexo femenino, 73 eligieron la licenciatura en Comunicación Multimedia, y 12 del sexo femenino no eligieron Comunicación Multimedia. ¿Cuántos estudiantes de esos 100 son del sexo masculino y no eligieron Comunicación Multimedia?

¿De cuántas formas se puede formar un número con los dígitos 1 y 2 (y ningún otro) de tal manera que sus dígitos sumen n?