Combinatoria

El Chico Fresa recién regresó de Italia y les trajo cuadernos a sus cuates. ¿De cuántas formas puede distribuir los 15 Moleskine entre 4 de sus amigos, bajo la condición de que a Baldo le toquen al menos 3, a Carlos al menos 2 y a Daniel al menos 1? (Nota: a Eulogio le puede tocar cualquier número --lo siento el chico fresa tiene sus preferidos.)

 Sea n un entero positivo. Consideremos la suma $x_1y_1 + x_2y_2 + \ldots + x_ny_n$, donde los valores que pueden tomar las variables $x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n$ son únicamente 0 y 1. Sea $I(n)$ el número de $2n$-adas $(x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n)$ para las cuales el valor de la suma es un número impar y sea $P(n)$ el número de $2n$-adas $(x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n)$ para las cuales la suma toma valor par. Probar que

$$\frac{P(n)}{ I(n)}=\frac{2^n + 1}{2^n - 1}$$

¿De cuántas formas se pueden acomodar en línea recta siete pelotas blancas y cinco negras, de tal manera que no estén dos pelotas negras juntas?

Un lote de galletas contiene galletas con almendras, galletas con chocolate, galletas con los dos ingredientes y otras que no contienen ninguno de los dos. Se encontró que 3/10 tienen almendras, 1/2 tienen chocolate y 3/28 tienen ambos ingredientes. Sin embargo se encontró que 172 galletas no tienen ninguno de los dos ingredientes.

Un piso rectangular está cubierto de mosaicos cuadrados. Tomando como unidad de longitud el lado de un mosaico, el piso tiene dimensiones 45 de largo y 20 de ancho. Si se traza una diagonal de una esquina a la opuesta del piso ¿cuántos mosaicos cruza la diagonal?

Si $a, b$ son dígitos (elementos del conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$), encontrar el número de fracciones $a/b$ menores que 1.

¿Cuántas ordenaciones (permutaciones) de las letras $A,B,C,D,E,F,G$ no contienen los subórdenes $BGE$ ni $EAF$? Ejemplo: $ABCDEFG$ no contiene ninguno, pero $CBGEAFD$ tiene los dos.

Demostrar que en veinte números naturales hay al menos dos cuya diferencia es un múltiplo de 19.

El chico fresa tenía 10 pares de zapatos tenis dedicados (para ir al Mall los fines de semana). Se entiende que de marca (Adidas Dragon, Converse, Fila, K-Swiss, Mizuno, New Balance, Nike Executor, Puma Fluxion, Reebok, Vans). En la mudanza de su familia se le perdieron 6 zapatos.

Del conjunto $A=\{1,2,\ldots,2n\}$ se eligen elementos y se forma un subconjunto $S$ de $A$. Si resulta que ninguno de los elementos de $S$ tiene múltiplos en $S$ ¿cuál es el máximo número de elementos de $S$?