Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Demostrar punto medio --si un ángulo es el triple de otro
Sean $W_1$ y $W_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente, que se intersectan en los puntos $A$ y $B$. El punto $C$ está sobre $W_1$ y es diametralmente opuesto a $B$. Las rectas $CB$ y $CA$ cortan de nuevo a $W_2$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente, donde el punto $B$ está entre $C$ y $Q$. Las rectas $O_1A$ y $PQ$ se intersectan en el punto $R$. Si la medida del ángulo $PBQ$ es el triple que la del ángulo $PCQ$, demuestra que $AO_1=AR$
Problemas del segundo dia del nacional 12 ONMAS
Diferencia de áreas de flores en octágono
A partir de un octágono regular de lado 10 cm, Anita dibuja dos flores como se muestran a continuación:
¿Cuál es la diferencia entre las áreas de las flores?
Encontrar ángulo dada una bisectriz
En un rectángulo $ABCD$, $F$ es el punto medio del lado $CD$ y $E$ es un punto del lado $BC$ tal que $AF$ es bisectriz del ángulo $EAD$. Si el ángulo $AEF$ mide 68 grados ¿cuál es la medida del ángulo $BAE$?
Los problemas del nacional de la 12 ONMAS
Área de pentágono
Por los vértices D y A del cuadrado ABCD de lado 5 se trazan, respectivamente, los segmentos paralelos DE y AF hacia afuera del cuadrado, de tal manera DE mide 4 y es perpendicular a EF. Encuentra el área del pentágono ABCEF.
Demostrar perpendicular
Sean $ABC$ un triángulo rectángulo y $M$ el punto medio de la hipotenusa $BC$. Sus catetos cumplen que $CA$ es menor que $AB$. Se coloca un punto $D$ sobre $AB$ de manera que $CA = AD$. Finalmente, sea $E$ el punto común de $AM$ y $CD$. Si $F$ es un punto sobre $BC$ tal que $EF$ es paralela a BC $AC$, demostrar que $AM$ es perpendicular a $FD$.
Tangentes a circunferencia desde el centro de otra
Considere las circunferencias $a$ y $b$ de centros $A$ y $B$ respectivamente. Desde el centro $A$ se trazan las tangentes a $b$ y éstas cortan a $a$ en los puntos $P$ y $Q$. Desde el centro $B$ se trazan las tangentes a $a$ que cortan a $b$ en $R$ y $S$. Demostrar que $PQRS$ es un rectángulo.
Círculo de diámetro la base de un triángulo
Sea $ABC$ un triángulo tal que la circunferencia $S$ de diámetro $BC$ pasa por el punto medio $M$ de $AB$. Sea $N$ un punto sobre $S$ de manera que $MN$ es diámetro de $S$. Probar que el área del triángulo $ABC$ entre el área del triángulo $MNC$ es 2.
Razón de áreas
En el rectángulo $ABCD$, los puntos $P, Q, R, S$, uno en cada lado, dividen el lado donde están en razón 3:2. ¿Cuál es el cociente del área del paralelogramo $PQRS$ entre el área de la región del rectángulo que queda afuera del paralelogramo? (N del E: en el examen se dio la figura.)
Demostrar paralelogramo
Sean $ABCD$ un paralelogramo, y $P, Q, R, S$ puntos exteriores a él. $M_1$ y $M_2$ son puntos medios de $PA$ y $AQ$, respectivamente, y $G_1$ la intersección de $QM_1$ y $PM_2$. ($G_1$ es el gravicentro del triángulo $PAQ$). De la misma manera se localizan los puntos $G_2, G_3, G_4$ en los triángulos $QRB, RSC$ y $SPD$, respectivamente. Demuestre que $G_1G_2G_3G_4$ es un paralelogramo.
2007 ONMAS escalera
Tengo 2007 rectángulos de dimensiones $1\times1, 1\times2, 1\times3,…, 1\times2007$ y los coloco en ese orden poniendo uno horizontal, luego otro vertical, etc. (como se muestra en la figura) formando una escalera.
¿Cuánto mide el segmento que va desde el punto A hasta el punto B?
Cuadrado deslizante en hexágono
En la esquina inferior izquierda de un hexágono regular de lado 4 metros se coloca un cuadrado de lado 2 metros, tal y como se observa en la parte izquierda de la figura.
El cuadrado “rueda” (sin deslizarse) sobre los lados del hexágono y por la parte interior de éste, girando en el sentido inverso de las agujas del reloj y manteniendo siempre un vértice apoyado en un lado del hexágono (el primer movimiento aparece en la figura). Cuando el punto $P$ --que es la intersección de las diagonales del cuadrado-- vuelve a su posición inicial ¿Cuántos metros ha recorrido?
Un cuadrilátero con muchos segmentos iguales
En un cuadrilátero $ABCD$, con ángulos interiores menores a 180 grados, los lados $AB, BC$ y $CD$ son iguales. También sabemos que $AD = AC = BD$. Encuentra la medida del ángulo $ABC$.
¿Cuál mediana forma dos isósceles?
Sean $ABC$ un triángulo, y $D$ y $E$ puntos sobre $AC$ y $BC$, respectivamente, tales que $AB$ es paralelo a $DE$. Sea $P$ el pie de la altura trazada desde $A$ al segmento $BC$. Si el ángulo $ACB$ es de 20 grados y $AB = 2DE$, encuentre el valor del ángulo $PDC$.
Altura de un paralelogramo
En la figura, el rectángulo tiene lados de 10 cm. y de 8 cm. y éstos se han dividido como se indica de manera que al unir los puntos de división se forma un paralelogramo (ojo sus ángulos no son rectos). Calcula la distancia entre los lados paralelos más pequeños, indicada con la línea d.
Triángulos en una circunferencia
Sean $AB$ es el diámetro de una circunferencia con centro en el punto $D$, y $C$ un punto en $AB$ de tal manera que $AC$ es la mitad de $CB$. Por el punto $C$ se traza una perpendicular a $AB$ que corta a la circunferencia en los puntos $E$ y $F$. Si el área del triángulo $ABE$ es de $60 cm^2$ ¿cuánto vale el área del triángulo $DEF$?
EGMO Problema 1 - Sobre dos circuncentros y demostrar que una línea es perpendicular
Sea ABC un triángulo con circuncentro O. Los puntos D, E y F se encuntran en el interio de los lados BC, CA y AB respectivamente, de tal manera que DE es perpendicular a CO y DF such that DE is perpendicular to CO and DF is perpendicular to BO. (Por punto interior nos referimos, por ejemplo, a que el punto D se encuentra sobre la línea BC y D está entre B y C en esa línea)
Consideremos K el circuncentro del triángulo AFE. Desmuestra que las líneas DK y BC son perpendiculares.
©Traducido de la versión en ingles para Matetam.com
Ortocentro de un acutángulo
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC\neq BC$, y sea $O$ su circuncentro. Sean $P$ y $Q$ puntos tales que $BOAP$ y $COPQ$ son paralelogramos. Demostrar que $Q$ es ortocentro de $ABC$.
Triángulo con incírculo y tres circunferencias más
Sea $ABC$ un triángulo y sean $X,Y,Z$ los puntos de tangencia de su incírculo con los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. Suponga que $C_1,C_2,C_3$ son circunferencias con cuerdas $XY,ZX,YZ$, respectivamente, tales que $C_1$ y $C_2$ se cortan sobre la recta $CZ$ y que $C_1$ y $C_3$ se corten sobre la recta $BY$. Suponga que $C_1$ corta a las cuerdas $XY$ y $ZX$ en $J$ y $M$, respectivamente; que $C_2$ corta a las cuerdas $YZ$ y $XY$ en $L$ e $I$, respectivamente; y que $C_3$ corta a las cuerdas $YZ$ y $ZX$ en $K$ y $N$, respectivamente. Demostrar que $I,J,K,L,M,N$ están sobre una misma circunferencia.