Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
P6 Primer problema real de funcionales
Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos {1, 2, ...}. Determina todas las funciones $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$ se cumple al mismo tiempo que:
$$f(m+n) \ |\ f(m) + f(n)$$
$$f(m)f(n)\ | \ f(mn)$$
Nota: $a | b$ quiere decir que el número entero $a$ divide al número entero $b$.
1.- Un problema Clásico de Factorización en Teoría de números
Determina todas las parejas de enteros positivos $(p, k)$ con $p$ un número primo tales que:
$p^k-k^p=9k$
1.- No le tengas miedo a la IMO
Determina todos los enteros compuestos $n >1$ que satisfacen la siguiente propiedad:
Si $d_1, d_2, \dots, d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ con $1 = d_1 < d_2< \cdots< d_k = n$, entonces $d_i$ divide a $d_{i+1} + d_{i+2}$ para cada $1 \leq i \leq k-2$.
P6. Borrando números del pizarrón
Alka encuentra escrito en un pizarrón un número $n$ que termina en 5. Realiza una secuencia de operaciones con el número en el pizarrón. En cada paso decide realizar una de las dos operaciones siguientes:
- Borrar el número escrito $m$ y escribir su cubo $m^3$.
- Borrar el número escrito $m$ y escribir el producto $2023\cdot m$
Alka realiza cada una de las operaciones un número par de veces en algún orden y al menos una vez, y obtiene finalmente el número $r$. Si las cifras de las decenas de $r$ es un número impar, encuentra todos los valores posibles que la cifra de las decenas de $n^3$ pudo haber tenido.
P3. Un país llamado Máxico
Un país llamado Máxico tiene dos islas, la isla Mayor y la isla Menor. La isla Mayor está compuesta por $k>3$ estados con exactamente $n>3$ ciudades cada uno, de manera que tiene $kn$ ciudades en total. La isla Menor tiene sólo un estado que tiene 31 ciudades en total. Dos aerolíneas de alto renombre, Aeropapantla y Aerocenzontle, ofrecen vuelos alrededor de Máxico. Aeropapantla ofrece vuelos directos desde cualquier ciudad hasta cualquier otra ciudad de Máxico. Aerocenzontle solo ofrece vuelos directos desde cualquier ciudad de la isla Mayor a cualquier otra ciudad de la isla Mayor.
P1. Enciclopedia de Gabriela
5.- Borrando divisores de un pizarrón
Sea $n > 1$ un entero positivo y sean $d_1 < d_2 < ... < d_m$ sus $m$ enteros positivos de manera que $d_1 = 1$ y $d_m = n$. Lalo escribe los siguientes $2m$ números en un pizarrón:
$d_1 , d_2 , ... , d_m , d_1 + d_2 , d_2 + d_3 , ... , d_{m-1} + d_m , N$
donde $N$ es un entero positivo. Después Lalo borra los números repetidos (por ejemplo, si un número repetido aparece 2 veces, el borrará uno de los dos). Después de esto, Lalo nota que los números en el pizarrón son precisamente la lista completa de divisores positivos de $N$. Encuentra todos los posibles valores del entero positivo $n$.
3.- Orquesta Matemática
Sea $n>1$ un entero y sea $d_1 < d_2 < \dots < d_m$ la lista completa de sus divisiores positivos, incluidos $1$ y $n$. Los $m$ instrumentos de una orquesta matemática se disponen a tocar una pieza musical de $m$ segundos, donde el instrumento $i$ tocará una nota de tono $d_i$ durante $s_i$ segundos (no necesariamente consecutivos), donde $d_i$ y $s_i$ son enteros positivos. Decimos que esta pieza tiene sonoridad $S = s_1 + s_2 + \cdots + s_m $.
1.- Números Tlahuicas
Un número $x$ es Tlahuica si existen números primos distintos $p_1, p_2 \dots, p_k$ tales que
$$x= \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + ... + \frac{1}{p_k}$$Determina el mayor número Tlahuica que satisface las dos propiedades siguientes:
- 0 < x < 1
- existe un número entero $0 < m \leq 2022$ tal que $mx$ es un entero.
Sin miedo al factorial
Determina el menor entero positivo $n$ tal que para todo entero positivo $u$ se cumple que $n+u!$ sea un número de al menos 4 divisores
Múltiplos de 9 con restricciones
¿Cuántos múltiplos de 9 menores que 1000 no usan ningún digito menor que 3?
Problema 5 Estatal 2022
Encuentra todas las parejas de enteros positivos (x,n) tales que:
(3)(2x) + 4 = n2
El 3 del estatal 2022
Encuentra todos los valores para n de tal forma que la expresión
6n+1
sea un número con todos sus dígitos iguales.
El número de Belmaris
André, Belmaris, Claudia, Daniel, Elmer y Germán van a jugar a decir números en ese orden. André y Belmaris podrán elegir sus números, pero los siguientes deben decir el resultado de la multiplicación de los números que dijeron las dos personas antes que ellos, sin equivocarse. Si André dijo "2" y Germán dijo "6 075 000" (seis millones setenta y cinco mil), ¿qué numero dijo Belmaris?
Práctica de módulos
Problema técnico de primos
Encuentra la suma de los números primos que dividen a todos los números de 3 dígitos con todos ellos iguales.
Piezas rectangulares con área 240
Se van a construir piezas rectangulares de área 240 cm2 y con ambos lados entero. ¿De cuántas formas distintas se puede hacer?
Subconjuntos con promedio entero
Números digitales (OMM 2021 P5)
Para cada entero $n>0$ con expansión decimal $\overline{a_1a_2 \dots a_k}$ definimos $s(n)$ como sigue:
- Si k es par, $s(n) = \overline{a_1a_2} + \overline{a_3a_4} + \dots +\overline{a_{k-1}a_k} $
- Si k es impar, $s(n) = a_1 + \overline{a_2a_3} + \overline{a_4a_5} + \dots +\overline{a_{k-1}a_k} $
Por ejemplo, si $n=123$ entonces $s(n) = 1 + 23 = 24$ y si $n=2021$ entonces $s(n) = 20+21 = 41$.
Decimos que este $n$ es digital si $n$ es múltiplo de $s(n)$. Muestra que entre cualesquiera 198 enteros positivos consecutivos, todos ellos menores que 2000021, hay uno de ellos que es digital.