Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Razonado elemental de números
Problema 7
Encuentra los valores de $a$ y $b$ enteros positivos en los que se cumpla que $a/5 + b/7 = 31/35$
Problema 6
180 multiplicado por un entero positivo $N$ resulta en un cubo perfecto (un número elevado al cubo). ¿Cuál es el mínimo valor posible de $N$ ?
Problema 5
Ana tiene un número secreto de 6 dígitos con las siguientes características:
- Clave 1: Es el mismo número al leerlo si se lee de derecha a izquierda.
- Clave 2: Es múltiplo de 9.
- Clave 3: Si se eliminan los dígitos extremos (el primero y el último) el número que resulta es múltiplo de 11 y solamente del 11.
¿Cuál es el número secreto de Ana?
Máximo común divisor menor a n
Sean n y m enteros mayores a 1, y sean $a_1,a_2,\dots,a_m$ enteros positivos menores o iguales a $n^m$. Demuestra que existen enteros positivos $b_1,b_2,\dots,b_m$ menores o iguales a n, tales que $$ mcd( a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_m+b_m) < n,$$ donde $mcd(x_1,x_2,\dots,x_m)$ denota el máximo común divisor de $x_1,x_2,\dots,x_m$.
XXVIII OMM Problema 6
Para cada entero positivo $n$, sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$. Por ejemplo, los divisores positivos de 6 son 1, 2, 3 y 6, por lo que $d(6)=4$.
Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que
$$n+d(n)=d(n)^2$$.
Reducción de números
Un entero positivo $a$ se reduce a un entero positivo $b$, si al dividir $a$ entre su dígito de las unidades se obtiene $b$. Por ejemplo, 2015 se reduce a $\frac{2015}{5}=403$. Encuentra todos los enteros positivos que, mediante algunas reducciones, llegan al número 1. Por ejemplo, el número 12 es uno de tales enteros pues 12 se reduce a 6 y 6 se reduce a 1.
Todos los primos tales que...
Encontrar todos los números primos $p,q$ tales que $p$ divide a $q+6$ y $q$ divide a $p+7$.
P1. IMO 2014 - Sucesión Inifinita
Sea $a_0<a_1< a_2 < \cdots $ una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero $n \geq 1$ tal que $$a_n < \frac{a_0+a_1 + \cdots + a_n}{n} \leq a_{n+1}$$
Números divertidos
Un entero positivo n es divertido si para todo divisor positivo d de n, d+2 es un número primo. Encuentre todos los npumeros divertidos que tengan la mayor cantidad posible de divisores.
1,5,13,25...
Con cuadrados de lado 1 se forma en cada etapa una figura en forma de escalera siguiendo el patron del dibujo
Por ejemplo, la primera etapa utiliza un cuadrado, la segunda utiliza 5. Determine la última etapa para la cual la figura correspondiente utiliza menos de 2014 cuadrados.
Números "tico"
Un entero positivo se denomina tico si es el producto de tres números primos diferentes que suman 74. Verifique que 2014 es tico. ¿Cuál será el próximo año tico? ¿Cuál será el último año tico de la historia?
r,r+p,r+2p primos , r=?
3.N. Encontrar todos los números primos que pueden escribirse como la diferenciade dos primos y como la suma de dos primos. (Nota: el 1 no es primo.)
Tabla con números sin 3 o 7
2.4. Se tiene una tabla con siete columnas A,B,C,D,E,F,G y se coloca en ella los números naturales que no contienen al 3 o al 7 en su desarrollo decimal. Se empieza en la casilla C1, como se muestra. ¿En cuál columna y renglón queda el 2014?
Espiral con el 2014 en cuadrícula
2.3. Sobre una cuadrícula se coloca 2014 veces el número 2014 (un dígito en cada casilla) siguiendo una espiral como se muestra en la figura. Sea M la suma de los números sobre las casillas verdes y N la suma de los números sobre las casillas amarillas. Calcula la diferencia entre M y N.
La lista de Julio
1.4. Julio hace una lista con los números que cumplen las siguientes condiciones:
--El número es de ocho cifras, todas diferentes.
--Es múltiplo de 8.
--Cada dos cifras adyacentes en el número forman un nuevo número que es múltiplo de 7 o de 13, aunque no necesariamente todos múltiplos del mismo número.
Encuentra los números de la lista de Julio.
Números mazatlecos
1.2. Se dice que un número de cuatro cifras diferentes entre sí y distintas de cero es Mazatleco si al eliminar la mayor y la menor de las cifras, las dos restantes suman 10. ¿Cuántos números Mazatlecos hay?
Llevar o no llevar: that's the question
1.1. Se forman tres números enteros de tres cifras, abc,def,ghi, donde cada letra representa un dígito del 1 al 9 sin que se repitan. Si la suma de los tres números termina en 65 ¿cuál es el valor de dicha suma?
Ejercicio en matemáticas del reloj
Recuerdos de Querétaro 1998
Encontrar los enteros positivos mínimo (m) y máximo (M) que se pueden expresar en la forma $1/a_1+2/a_2+3/a_3+...+9/a_9$ (Donde $a_1,...,a_9$ son dígitos, no necesariamente distintos.)