Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

XX Avanzados

Enviado por vmp el 7 de Enero de 2008 - 17:44.

Encuentra todas las parejas de números $(a,b)$ tales que $a-b$ es un número primo y el producto $ ab$ es un cuadrado perfecto.

Problema

Criba

Enviado por vmp el 7 de Enero de 2008 - 17:44.

Demuestra que 121 no divide a $f(n) = n^2 + 3n +5$ para ningún número natural $ n$.

Problema

Algoritmo Glotón y Criba

Enviado por vmp el 7 de Enero de 2008 - 17:42.

Construir un subconjunto B de A={1,2,…,40} tal que |B|=26 (el tamaño de B) y si b1 y b2 están en B entonces b1b2 no es cuadrado perfecto.

Problema

Longitud mínima - caso particular

Enviado por jmd el 7 de Enero de 2008 - 00:00.

Sean $ABC$ un triángulo rectángulo en $ A $, y $ P $ un punto móvil en la hipotenusa $ BC $.

Problema

2n-agono

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Demostrar que para cada n natural mayor que 1, cualquier 2n-ágono convexo tiene una diagonal que no es paralela a ningún lado.

Problema

Cinco Enteros

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

En cualquier conjunto de cinco enteros siempre hay tres cuya suma es múltiplo de 3.

Problema

Ecuaciones funcionales

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Resolver las siguientes ecuaciones funcionales.

 

 

  1. Encontrar $p(x)$ de tal manera que $p(x+1)=p(x)+2x+1$.
  2. Encontrar $f(x)$ de tal manera que $f(x+1)=x^2-3x+2$.
  3. Lo mismo para $$ f(\frac{x+1}{x})=(\frac{x^2+1}{x^2})+1/x $$
  4. $f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)$.
  5. Para $x>0$, $f(xy)=xf(y)+yf(x)$.
  6. $f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x$.
Problema

El problema 6 de la OMM 2005

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Como se sabe, uno de los 6 problemas del concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas es muy difícil –incluso para aquellos concursantes que han tenido un buen entrenamiento. He aquí el enunciado del problema 6 del concurso nacional de 2005.

Sea $ABC$ un triángulo y $AD$ la bisectriz del ángulo $BAC$, con $D$ sobre $BC$. Sea $E$ un punto sobre el segmento $BC$ tal que $BD = EC$. Por $E$ traza $l$ la recta paralela a $AD$ y considera un punto $P$ sobre $l$ y dentro del triángulo. Sea $G$ el punto donde la recta $BP$ corta al lado $AC$ y sea $F$ el punto donde la recta $CP$ corta al lado $AB$. Muestra que $BF = CG$.

Problema

El Tesoro Pirata

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

En el mapa está un roble, un pino y un mezquite. Las instrucciones son: camina desde el mezquite hacia el pino, gira a la izquierda en ángulo recto, camina la misma distancia que hay del mezquite al pino, y clava ahí una estaca X; después regresa al mezquite, camina hacia el roble, gira a la derecha en ángulo recto, camina la misma distancia que hay entre el roble y el mezquite, y clava ahí una estaca Y. El tesoro está enterrado en el punto medio del segmento XY. ¿Qué hacer si el mezquite ha desaparecido?

 

Problema

El Viajero

Enviado por jesus el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Un viajero decide tomar un paseo en su propio automóvil, recorriendo un camino "circular" que pasa por $n$ ciudades; es decir, sin importar en la ciudad que inicie, regresará a ésta después de pasar por las otras.

La distancia total del recorrido es de $K$ kilómetros. Por otro lado, cada ciudad (digamos la ciudad $i$, con $i$ entre $1$ y $n$) tiene un máximo de gasolina que puede vender por usuario y con dicha gasolina se puede avanzar alguna cierta cantidad de kilómetros ($K_i$ kilómetros para la ciudad i).

Supongamos que el total de gasolina que se puede obtener en las distintas ciudades es apenas suficiente para realizar todo el recorrido, es decir, $K_1 + K_2 + ... + K_n = K$.

Problema

Fórmulas de Vieta

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Encontrar todas las soluciones del siguiente sistema de tres ecuaciones en tres incógnitas.

x+y+z=2

x^2+y^2+z^2=14

xyz=-6

Problema

Hagamos un trato (Let's make a deal –The Monty Hall Paradox)

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Suponga que en un show de la televisión usted está participando y el animador le da a elegir tres puertas: lo que hay detrás de la elegida es suyo. Detrás de una de ellas está un auto nuevo, detrás de las otras dos una chiva. Imagine que usted elige una de las puertas, digamos la 1, y en ese momento (antes de abrirla) el conductor, quien sabe qué hay detras de cada puerta, abre una de las dos restantes, digamos la 3, y resulta que ahí hay una chiva. A continuación te pregunta “¿deseas cambiar tu elección (abrir la puerta 2)?”

¿Te conviene cambiar?

 

Problema

IMO 2004, problema 2

Enviado por jesus el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Encuentre todos los polinomios $P(x)$ tales que

$$P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)$$

para todo $a, b, c$ reales que satisfacen que $ab+bc+ca=0$.

Problema

Método "Busca donde hay luz"

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Encontrar todas las tripletas de enteros (a,b,c) tales que el producto de dos de ellos más el tercero sea la unidad (o sea el 1).

Problema

Problema 1, OMM 2005

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, y $P$ un punto cualquiera del segmento $BC$ ($P$ no es ni $B$ ni $C$). La circunferencia circunscrita al triángulo $BPO$ corta en $R$ al segmento $AB$ ($R$ no es $A$ ni es $B$), y la circunferencia circunscrita al triángulo $COP$ corta en $Q$ al segmento $CA$ ($Q$ no es $C$ ni es $A$).

i)Demostrar que el triángulo $PQR$ es semejante al $ABC$ y que $O$ es ortocentro de $PQR$.

ii)Demuestrar que las circunferencias circunscritas a los triángulos $BPO$, $COP$ y $PQR$ son todas del mismo tamaño.

Problema

QUINTO EXAMEN SELECTIVO

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Problema 1 Dado un triángulo acutángulo ABC se trazan las circunferencias c1 de diámetro AB y c2 de diámetro BC y se ubican las intersecciones M y N y P y Q de las alturas CC’ y BB’ (vistas como rectas) con c1 y c2, respectivamente. Demostrar que los puntos M, N, P y Q pertenecen a una misma circunferencia.

Problema

Soluciones de una cuadrática

Enviado por jesus el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Sean $x_1$ y $x_2$ dos soluciones distintas de la ecuación cuadrática:

$Ax^2+Bx+C=0$

Demuestra que $$ (x_1-x_2)^2 = \frac{(B/2)^2 -AC}{A^2} $$

Problema

subconjuntos con elemento común

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Dado el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, demostrar que no tiene ninguna colección de subconjuntos tal que cada par de ellos tienga un elemento común.

Problema

subsucesiones

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Una sucesión de n^2+1 números reales distintos es dada. Demostrar que existe una subsucesión de n+1 números que es ya sea estrictamente creciente, o estrictamente decreciente.

Problema

Tablero y fichas de dominó

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

¿Se podrá llenar de fichas de dominó el tablero de ajedrez sin cubrir dos casillas en esquinas opuestas?

Nota. Las fichas de dominó cubren exactamente dos casillas del tablero.