Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema 5 OMM 2003
Problema 5. Se escriben en tarjetas todas las parejas de enteros $(a,b)$ con $1\leq a\leq b \leq 2003$. Dos personas juegan con las tarjetas como sigue: cada jugador en su turno elige $(a,b)$ (que se retira del juego) y escribe el producto ab en el pizarrón (ambos jugadores usan el mismo pizarrón). Pierde el jugador que ocasione que el máximo común divisor de los números escritos hasta ese momento sea $1$. ¿Quién tiene la estrategia ganadora? (Es decir, ¿cuál de los dos jugadores puede inventar un método que asegure su tirunfo?)
Problema 3 OMM 2003
Problema 3. En una fiesta hay el mismo número n de muchachos que de muchachas. Supón que a cada muchacha le gustan a muchachos y que a cada muchacho le gustan b muchachas. ¿Para qué valores de $a$ y $b$ es correcto afirmar que forzosamente hay un muchacho y una muchacha que se gustan mutuamente?
Cálculo inteligente
¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
$(12, 345, 678)^2 - (12, 345, 677) \times (12, 345, 679)$
Método 2 loci (dos lugares) --segunda parte
Trazar una circunferencia que pase por los tres vértices de un triángulo ABC.
Método 2 loci (dos lugares)
Trazar una circunferencia que sea tangente a los tres lados de un triángulo.
Problema 1 OMM 2003
Problema 1. Dado un número $k$ de dos o más cifras, se forma otro
entero $m$ insertando un cero entre las cifras de las unidades y
de las decenas de $k$. Encuentra todos los números $k$ para los
cuales $m$ resulta ser un múltiplo de $k$.
Cuadrados en cada lado y concurrencia.
Sobre los lados del triángulo ABC se han dibujado los cuadrados $ \mathcal{C}_A $, $ \mathcal{C}_B $ y $ \mathcal{C}_C $, de tal manera que un lado del cuadrado es un lado del triángulo y el cuadrado no traslapa al triángulo. El cuadrado $ \mathcal{C}_A $ se encuentra sobre BC; $ \mathcal{C}_B $ sobre AC; y $ \mathcal{C}_C $ sobre AB.
Problema de cíclicos
En un triángulo acutángulo, el círculo de diámetro AB intersecta la altura CE y su extensión en M y N, y el círculo de diámetro AC intersecta la altura BD y su extensión en P y Q. Probar que los puntos M, N, P, Q están sobre una misma circunferencia.
(Nota:Este problema es una extensión del problema dos segmentos iguales.)
Bisectriz, ángulo recto y conjugados armónicos
Consideremos P y Q un par de puntos conjugados armónicos con respecto a A y B, P dentro d
Problema de Excalibur Probleam Corner 309
En un triángulo acutángulo ABC donde AB < AC. Sea H el pie de la perpendicular de A sobre BC y M el punto medio de AH. Sea D el punto de tangencia del incirculo del triangulo ABC en BC. La linea DM intersecta por segunda vez al incirculo en N. Probar que los angulos BND y CND son iguales.
Cuerda del incírculo, una mediana y una perpendicular
Sean P, Q y R los puntos donde la circunferencia inscrita del triángulo ABC toca a los lados BC, CA y AB respectivamente. Llamemos M al punto medio de BC.
Para trabajar semejanza
Problema 3
¿Cuántos números comprendidos entre 2008 y 8002 son multiplos de 3?
Problema 2
¿Cuántos divisores tiene el número 120?
Problema 1
¿Cuál es el mayor número que al dividirlo entre 28 el cociente es igual al resto?
Geometría analítica, un legado cartesiano
Sean $A, B, C, D$ cuatro puntos distintos sobre una recta, en ese orden. Los círculos de diámetros $AC$ y $BD$ se intersectan en los puntos $X$ y $Y$. La recta $XY$ corta a $BC$ en el punto $Z$. Sea $P$ un punto sobre la recta $XY$, y diferente de $Z$. La recta $CP$ intersecta al círculo de diámetro $AC$ en los puntos $C$ y $M$, y la recta $BP$ intersecta el círculo de diámetro $BD$ en los puntos $B$ y $N$. Demostrar que las rectas $AM$, $DN$ y $XY$ son concurrentes.
El problema elemental más difícil jamás inventado
Encontrar una solución al siguiente acertijo, en el que las distintas letras representan los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Una solución consiste en una correspondencia biunívoca entre letras y dígitos que sea compatible con la suma.
Problema del concurso de primavera español
La edad del padre de Nacho es cuatro veces la edad de éste. Dentro de cuatro años será sólo el triple. ¿Cuántos años desde ahora deben pasar para que sea sólo el doble?
- A) 16
- B) 18
- C) 20
- D) 24
- E) 3
Diferencia de cuadrados constante
Dados dos puntos A y B, determinar el lugar geométrico de los puntos P en el plano tal que:
$PA^2 - PB^2 = constante$
Simediana, línea media y pies de alturas
Consideremos un triángulo cualquiera ABC. Llamemos P y Q los pies de las alturas trazadas desde B y C respectivamente. Consideremos también $\mathcal{M} $ la línea media opuesta al vértice C; y consideremos $\mathcal{L}$ la simediana trazada desde B. Demuestra que las líneas PQ, $\mathcal{M}$ y $\mathcal{L}$ concurren.