Problemas - Geometría
P6. Un problema de excentros en la OMM
Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el excentro opuesto a $A$. La perpendicular a $AI$ por $I$ interseca a las rectas $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente. La circunferencia $\omega_b$ es tangente a $EF$ y $AB$ en $B$ de modo que está en el exterior del triángulo $AEF$. Análogamente, la circunferencia $\omega_c$ es tangente a $EF$ y $AC$ en $C$ de modo que está en el exterior del triángulo $AEF$. La recta $IB$ corta de nuevo a $\omega_b$ en $X$ y la recta $IC$ corta de nuevo a $\omega_c$ en $Y$.
Sea $\omega_a$ el excírculo del triángulo $AEF$ opuesto a $A$. Pruebe que la reflexión de $\omega_a$ respecto a $EF$ es tangente a $XY$
Paralelas si y sólo si paralelas (P6)
Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de radios diferentes que se cortan en los puntos $A$ y $B$. Consideremos un punto $C$ sobre la recta $AB$ de modo que $B$ queda entre $A$ y $C$.
Sean $P$ y $Q$ puntos sobre $C_1$ y $C_2$, respectivamente, tales que $CP$ es tangente a $C_1$, $CQ$ es tangente a $C_2$, $P$ no está dentro de $C_2$ y $Q$ no está dentro de $C_1$.
La recta $PQ$ corta de nuevo a $C_1$ en $R$ y a $C_2$ en $S$, ambos puntos distintos de $B$.
Supongamos que $CR$ corta de nuevo a $C_1$ en $X$ y $CS$ corta de nuevo a $C_2$ en $Y$. Sea $Z$ un punto sobre la recta $XY$.
Muestra que $SZ$ es paralela a $QX$ si y sólo si $PZ$ es paralela a $RX$.
Una recta que pasa por el ortocentro(P2)
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con sus vértices sobre la circunferencia $\mathcal C$.
Sea $l$ la recta tangente a $\mathcal C$ en el punto $A$. La circunferencia con centro $B$ y radio $BA$ intersecta a la recta $l$ en $D$ y a la recta $AC$ en $E$. Muestra que la recta $DE$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.
Nota: El ortocentro de un triángulo es el punto donde concurren las tres alturas del triángulo.
P1. Colinealidad en un P1???
Sea $ABCD$ un paralelogramo. La circunferencia de diámetro $BD$ corta a las rectas $AD$ y $DC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente distintos de $D$. La recta $EF$ interseca a $BA$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Demuestra que el centro de la circunferencia que pasa por los puntos $B, \ P$ y $Q$ está en la recta $BD$.
P4. Cuarta concurrencia en un ortocentro
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y sea $M$ un punto del segmento $BC$. La recta por $M$ y perpendicular a $BC$ corta a las rectas $BH$ y $CH$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Muestra que la recta $AM$ pasa por el ortocentro del triángulo $HPQ$.
P3. Hexágono, puntos medios, dodecágono, estrella
Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo y sean $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ los puntos medios de $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ respectivamente. Se construyen los puntos $A_2, B_2, C_2, D_2, E_2, F_2$ en el interior de $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ tales que:
- El dodecágono $A_2A_1B_2B_1C_2C_1D_2D_1E_2E_1F_2F_1$ tiene sus 12 lados iguales
- $\angle A_1B_2B_1 + \angle C_1D_2D_1 + \angle E_1F_2F_1 = \angle B_1C_2C_1 + \angle D_1E_2E_1 + \angle F_1A_2A_1 = 360$°, donde todos los ángulos son menores a 180°
Demuestra que $Α_2B_2C_2D_2E_2F_2$ es cíclico.
P5 Concurrencia de 2 círculos y 1 segmento
Sean $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ su circuncírculo y $O$ su circuncentro. Sea $F$ el punto en $AC$ tal que $\angle COF = \angle ACB$, donde $F$ y $B$ están de lados opuestos respecto a $CO$. La recta $FO$ corta a $BC$ en $G$. La paralela a $BC$ por $A$ interseca a $\Gamma$ de nuevo en $M$. Las rectas $MG$ y $CO$ se cortan en $K$. Demuestra que los circuncírculos de los triángulos $BGK$ y $AOK$ concurren en $AB$.
P3 Regresa la Geo a la OMM
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Si $M, N, K$ son los puntos medios de los segmentos $AB$, $BC$ y $CD$ respectivamente, y además existe un punto $P$ dentro del cuadrilátero $ABCD$ tal que, $\angle BPN = \angle PAD$ y $\angle CPN = \angle PDA$. Demuestra que $AB \cdot CD$ = $4PM \cdot PK$
6.- Punto ideal de semejanza
Encuentra todos los $n \geq 3$, tales que existe un polígon convexo de $n$ lados $A_1A_2 \dots A_n$, que tenga las siguientes características:
- todos los ángulos internos de $A_1A_2 \dots A_n$ son iguales
- no todos los lados de $A_1A_2 \dots A_n$ son iguales
- existe un triángulo $T$ y un punto $O$ en el interior de $A_1A_2 \dots A_n$ tal que los $n$ triángulos $OA_1A_2$, $OA_2A_3$, $\dots$, $OA_{n-1}A_n$ son todos semejantes a $T$
NOTAS:
Triángulo con ángulo de 60º (OMM 2021 P4)
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno con $\angle BAC = 60 ^\circ$ y ortocentro $H$. Sea $\omega_b$ la circunferencia que pasa por $H$ y es tangente a $AB$ en $B$, y $\omega_c$ la circunferencia que pasa por $H$ y es tangente a $AC$ en $C$.
- Prueba que $\omega_b$ y $\omega_c$ solamente tienen a $H$ como punto común
- Prueba que la recta que pasa por $H$ y el ortocentro $O$ de $ABC$ es tangente común a $\omega_b$ y $\omega_c$