Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
P3 OMM 1996. Cubrir cuadrícula con dominós con una condición
Demuestra que no es posible cubrir una cuadrícula de 6cm × 6 cm con 28 rectángulos de 2cm × 1cm, de tal manera que cada una de las rectas de longitud 6cm que forman la cuadrícula y que están en el interior de la misma pase por uno de los rectángulos. Demuestra también que sí es posible cubrir una cuadrícula de 6cm × 5cm con 15 rectángulos de 2cm × 1cm de tal manera que cada una de las rectas de 5cm o 6 cm que forman la cuadrícula y que están en el interior de la misma pase por el centro de por lo menos uno de los rectángulos.
P2 OMM 1996. La ficha 1 te prende el foco
Bordeando una mesa circular hay dibujadas 64 casillas y en cada una hay una ficha. Las fichas y las casillas están numeradas del 1 al 64 en orden consecutivo (cada ficha está en la casilla del mismo número). En la parte central de la mesa hay 1996 focos apagados. Cada minuto todas las fichas se desplazan simultáneamente, en forma circular (en el mismo sentido de la numeración), como sigue: la ficha #1 se desplaza una casilla, la ficha #2 se desplaza dos casillas, la ficha #3 se desplaza 3 casillas, etcétera, pudiendo varias casillas ocupar la misma posición.
P1 OMM 1996. Cuadrilátero con diagonal trisecada
Sea $ABCD$ un cuadrilátero y sean $P$ y $Q$ los puntos de trisección de la diagonal $BD$ (es decir, $P$ y $Q$ son puntos del segmento $BD$ para los cuales las longitudes $BP, PQ$ y $QD$ son todas iguales). Sean $E$ la intersección de la recta que pasa por $A$ y $P$ con el segmento $BC$, y $F$ la intersección de la recta que pasa por $A$ y $Q$ con el segmento $DC$. Demuestra lo siguiente:
1. Si $ABCD$ es un paralelogramo, entonces $E$ y $F$ son los respectivos puntos medios de los segmentos $BC$ y $CD$.
2. Si $E$ y $F$ son los puntos medios de $BC$ y $CD$, respectivamente, entonces $ABCD$ es un paralelogramo.
P6 OMM 1995. Tres operaciones sobre los símbolos de una cuadrícula
Sobre los cuadrados de una cuadrícula de $4x4$ se colocan símbolos 0 y1; estos símbolos se cambian uno por el otro de acuerdo a las siguientes tres operaciones:
La operación (a) cambia los símbolos de todos los elemntos de un renglón.
La operación (b) cambia de símbolos de todos los elementos de una columna.
La operación (c) cambia de símbolos de todos los elementos de una diagonal
(líneas punteadas en la figura).
P5 OMM 1995. Triángulos de igual área en pentágono
Sea $ABCDE$ un pentágono convexo de manera que los triángulos $ABC,BCD, CDE, DEA$ y $EAB$ son todos de igual área. Demuestra que
$$\frac{1}{4} (ABCDE)<(ABC)<\frac{1}{3} (ABCDE)$$.
(Donde el paréntesis denota el área del polígono dentro de él.)
P4 OMM 1995. Con 26 sí, con 27 no
a) Encuentra un subconjunto $B$ del conjunto $A = \{1, 2, 3, \ldots, 40\}$, de manera que $B$ tenga 26 elementos y que ningún producto de dos elementos de $B$ sea un cuadrado perfecto.
b) Demuestra que no se puede obtener un subconjunto de $A$ de 27 elementos con la característica mencionada en el inciso anterior.
P3 OMM 1995. Vértices consecutivos de heptágono regular
Sean $A,B,C,D$ vértices consecutivos de un heptágono regular, y $AL$ y $AM$ las tangentes desde $A$ a la circunferencia de centro $C$ y radio $CB$. Si $N$ es la intersección de $AC$ y $BD$, demuestra que los puntos $L, M$ y $N$ son colineales.
P2 OMM 1995. Seis puntos, 8 distancias 1 ¿equilátero?
Considera 6 puntos en el plano con la propiedad de que 8 de las distancias entre ellos son iguales a 1. Muestra que al menos tres de los puntos forman un triángulo equilátero de lado 1.
P1 OMM 1995. Déjame estrechar tu mano
En una Olimpiada de Matemáticas los concursantes están ocupando todos los asientos de un salón rectangular donde los asientos están alineados en filas y columnas de tal manera que hay más de dos filas y en cada fila hay más de dos asientos. Al inicio del examen un profesor les sugiere que se deseen suerte dándose la mano; cada uno de los concursantes estrecha la mano de los concursantes que están junto a él (adelante, atrás, a los lados y en diagonal) y sólo a éstos. Alguien observa que se dieron 1020 apretones de manos ¿Cuántos concursantes hay?
P6 OMM 1994. Un problema muy negativo
Sea $C$ una cuadrícula de $10x10$. Considere piezas de las siguientes formas:
donde en cada pieza, los cuadrados son de $1 x 1$. Demuestre que:
- 1. $C$ no se puede cubrir completamente con 25 piezas de la forma (a)
- 2. $C$ no se puede cubrir completamente con 25 piezas de la forma (b)
- 3. $C$ no se puede cubrir completamente con 25 piezas de la forma (c)
P5 OMM 1994. Cuatro vértices, 4 triángulos, 12 alturas
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo (cada uno de sus ángulos es menor a 180 grados) y considere los pies de las alturas de los cuatro triángulos que se pueden formar con los vértices $A,B,C$ y $D$. Demuestre que no importa qué cuadrilátero convexo se tome, alguno de estos 12 puntos se encuentra sobre un lado del cuadrilátero.
P4 OMM 1994. Leer primero las páginas primas con 400
Un matemático caprichoso escribe un libro que tiene páginas de la 2 a la 400 y que debe ser leído de la siguiente manera: Primero deberán leerse todas las páginas cuyo número no sea primo relativo con 400 (por suerte, éstas se leen en orden normal, de menor a mayor). Una vez leídas éstas, se toma el último número de las que no se han leído (en este caso 399) y entonces se leen todas las páginas cuyo número no sea primo relativo con él y que no se hayan leído antes.
P3 OMM 1994. Bisectriz en un paralelogramo
Considere un paralelogramo $ABCD$ (con $AB$ paralela a $CD$ y $BC$ paralela a $DA$). Sobre la prolongación del lado $AB$ encuentre un punto $E$, de manera que $BE = BC$ (y con $B$ entre $A$ y $E$). Por $E$, trace una perpendicular a la línea $AB$, ésta se encontrará en un punto $F$ con la línea que pasa por $C$ y es perpendicular a la diagonal $BD$. Muestre que $AF$ divide en dos ángulos iguales al ángulo $DAB$.
P2 OMM 1994. Desorden en los números del reloj
Los doce números de un reloj se desprendieron y al colocarlos nuevamente,
se cometieron algunos errores. Demuestre que en la nueva colocación hay
un número que al sumarle los dos números que quedaron a sus lados se
obtiene un resultado mayor o igual a 21.
P1 OMM 1994. Sucesión con regla singular de formación
La colección infinita de números $1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, \ldots$ se ha
formado de la siguiente manera: Se coloca primero el primer impar $(1)$,
luego los siguientes dos pares $(2, 4)$, después los siguientes tres impares
$(5, 7, 9)$, luego los cuatro pares siguientes al último impar que se colocó
y así sucesivamente. Encuentra el término de la secuencia más cercano a
1994.
P6. OMM 1993. El siguiente del producto de 4 consecutivos
Sea $f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3)+1$ y $p$ un número primo impar. Pruebe
que existe un entero $ n $ tal que $p$ divide a $f(n)$ si y sólo si existe un entero
$m$ tal que $p$ divide a $m^2 - 5$.
P5. OMM 1993. Intersecciones colineales de circunferencias
Por un punto $O$ de una circunferencia, se tienen tres cuerdas que sirven
como diámetros de tres circunferencias. Además del punto común $O$, las
circunferencias se intersectan por parejas en otros tres puntos. Demuestre
que tales puntos son colineales.
P4. OMM 1993. Recurrencia en dos variables
Para cualquier número entero $n>0$, se define:
1. $f(n, 0) = 1$ y $f(n, n) = 1$
2. $f(n, k) = f(n - 1, k - 1) + f(n - 1, k)$ para $0<k<n$.
¿Cuántos cálculos se tienen que hacer para encontrar el valor de $f(3991, 1993)$,
sin contar aquellos de la forma $f(n, 0)$ y $f(n, n)$?
P2. OMM 1993. La suma de los cubos de sus 3 cifras...
Encuentre los números de tres cifras tales que la suma de los cubos de éstas es igual al número.
P1. OMM 1993. Triángulos en los catetos
Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $A$. Se construyen exteriormente
a este triángulo los triángulos rectángulos isósceles $AEC$ y $ADB$ con
hipotenusas $AC$ y $AB$, respectivamente. Sea $O$ el punto medio de $BC$
y sean $E'$ y $D'$ los puntos de intersección de $OE$ y $OD$ con $DB$ y $EC$
respectivamente. Calcule el área del cuadrilátero $DED'E'$ en función de
los lados del triángulo $ABC$.