Problemas - Teoría de números
P3 OMM 2002. Residuos cuadráticos (módulo 4)
Sean $n$ un entero positivo. ¿Tiene $n^2$ más divisores positivos de la forma $4k+1$ o de la forma $4k-1$?
Problema 3, IMO 2010
Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que $$\left( g(m) + n\right) \left(m + g(n) \right) $$
es un cuadrado perfecto para todo $m, n \in \mathbb{N}$.
P4 OMM 2001. Lista de residuos cuadráticos
Dados dos enteros positivos $n$ y $a$, se forma una lista de 2001 números como sigue:
- el primer número es $a$;
- a partir del segundo, cada número es el residuo que se obtiene al dividir al cuadrado del anterior entre $n$.
A los números de la lista se les ponen los signos $+$ y $-$, alternadamente
empezando con $+$. Los números con signo así obtenidos se suman, y a esa suma se le llama suma final para $n$ y $a$.
¿Para qué enteros $n \geq 5$ existe alguna $a$ tal que $2 \leq a \leq n/2$, y la suma final para $n$ y $a$ es positiva?
P1 OMM 2001. Múltiplos de 3 y 7 con dígitos 3 o 7
Encuentra todos los números de 7 dígitos que son múltiplos de 3 y de 7,
y cada uno de cuyos dígitos es 3 o 7.
P4 OMM 2000. Número de primos hasta el primer compuesto
Para $a$ y $b$ enteros positivos, no divisibles entre $5$, se construye una lista de números como sigue:
- El primer número es 5 y,
- a partir del segundo, cada número se obtiene multiplicando el número que le precede (en la lista) por $a$, y sumándole $b$.
(Por ejemplo, si $a = 2$ y $b = 4$, entonces los primeros tres números de la
lista serán: 5, 14, 32 (pues $14 = 5\cdot2 + 4$ y $32 = 14\cdot2 + 4$.)
¿Cuál es la cantidad máxima de primos que se pueden obtener en la lista antes de obtener el primer número no primo?
P2 OMM 1999. Primos en sucesión aritmética
Demuestre que no existen 1999 primos en progresión aritmética, todos ellos menores que 12345. (Nota: Una colección de números está en progresión aritmética si es de la forma $a, a+r, a+2r,\ldots, a+br.$)
P1 OMM 1997. Primo función de un primo
Encuentre todos los números primos positivos $p$ tales que $8p^4 - 3003$ también es un primo positivo.
P4 OMM 1996. Ocho distintos múltiplos de n
¿Para qué enteros $n \geq 2$ se pueden acomodar los números del 1 al 16 en los cuadros de una cuadrícula de $4×4$ (un número en cada cuadro, sin repetir números) de tal manera que las 8 sumas de los números que quedan en cada fila y en cada columna sean múltiplos de $n$, y que estos 8 múltiplos sean todos distintos entre sí?
P4 OMM 1995. Con 26 sí, con 27 no
a) Encuentra un subconjunto $B$ del conjunto $A = \{1, 2, 3, \ldots, 40\}$, de manera que $B$ tenga 26 elementos y que ningún producto de dos elementos de $B$ sea un cuadrado perfecto.
b) Demuestra que no se puede obtener un subconjunto de $A$ de 27 elementos con la característica mencionada en el inciso anterior.
P1 OMM 1995. Déjame estrechar tu mano
En una Olimpiada de Matemáticas los concursantes están ocupando todos los asientos de un salón rectangular donde los asientos están alineados en filas y columnas de tal manera que hay más de dos filas y en cada fila hay más de dos asientos. Al inicio del examen un profesor les sugiere que se deseen suerte dándose la mano; cada uno de los concursantes estrecha la mano de los concursantes que están junto a él (adelante, atrás, a los lados y en diagonal) y sólo a éstos. Alguien observa que se dieron 1020 apretones de manos ¿Cuántos concursantes hay?