Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Dos en uno
La suma de dos números es 36 (variante: 750) y su producto es 243 (variante: 78125). Encuentra los números. ¿Podrías plantear uno con la misma estructura?
Lourdes y su madre
La edad de Lourdes es un divisor primo (y no es 3) de la edad de su madre y ésta tenía 39 cuando aquélla nació . ¿Cuántos años tienen?
Perico de los Palotes
Un ejidatario de Soto le vende pericos y cotorras a un traficante que los lleva a USA. Este año le vendió 7 pájaros verdes: los pericos a 150 dólares y las cotorras a 100. Si el traficante le pagó 900 dólares ¿cuántos pericos le compró?
Life in plastic, it's fantastic
Teresa, la madre de Kira, es una chica barbie de la ciudad (étnica, al igual que su hija, y ya de cierta edad). En sus tiempos coleccionó muñecas Barbie de Mattel (el calificativo es importante, es decir, no son piratas). Kira cuenta que su madre las tiene todas y desea plantear a los usuarios de MaTeTaM el siguiente problema: si vendiera 30 le quedarían el triple que si vendiera 100 ¿cuántas barbies tiene la mamá de Kira?
Adopta un abuelito
El chico fresa es también un filántropo. De acuerdo a la política "adopta un abuelito" del gobernador, decidió contribuir a la felicidad de los 5 adultos mayores de su manzana. Deseando que disfrutaran de los placeres de la realidad virtual, les regaló sus juegos de video que compró el año pasado en McAllen (este año se casa y siente que su adicción al Xbox debe quedar en el pasado). Al primero le regaló la mitad de ellos menos 8; al segundo, la mitad de los restantes menos 8; al tercero, la mitad de los que le quedaban menos 8, y lo mismo hizo con el cuarto. Le quedaron 20 y se los dio al quinto adulto mayor de su manzana.
Una sucesión aritmética
El décimo término de una sucesión aritmética es 20 y la suma de sus primeros 10 términos es 65. Calcular el primer término.
Longitud del ciclo --de residuos potenciales
Sean $a,m$ enteros positivos y primos entre sí, y $o$ el exponente entero positivo más pequeño que cumple $a^o\equiv 1\pmod m$. Demostrar que si $a^u$ es equiresidual con el 1 (mod m) entonces $u$ es múltiplo de $o$.
La respuesta está en el ciclo
Calcular los residuos que dejan las potencias de 2 en la sucesión geométrica $2,2^2,2^3\ldots$ al dividir entre 17 y, sin hacer el cálculo directo, diga cuál es el residuo que deja $2^{21}$ en la división entre 17 analizando el patrón de los primeros 10 residuos.
Ciclos de residuos en una progresión geométrica
Sean $a$ y $g$ enteros positivos coprimos con un módulo $m$ (otro entero positivo), y consideremos los residuos que dejan (en la división entre $m$) los términos de la progresión aritmética $a,ag,ag^2,\ldots$. Demostrar que en esa sucesión de residuos éstos recurren (se repiten por bloques o ciclos), y que si $t$ es el número de términos del período o bloque recurrente, entonces $t\leq \phi(m)$
Solución de congruencias potenciales
Sea $a$ un entero positivo, coprimo con un primo $p$. Analizar la ecuación de congruencias $x^n \equiv a \pmod{p}$ en cuanto a sus posibles soluciones.
Raíces primitivas de un primo: una propiedad logarítmica
Sean $p$ un número primo y $g$ una de sus raíces primitivas. Demostrar que dos enteros positivos $i,j$ son equiresiduales en la división entre $p-1$ si y sólo si $g^i,g^j$ son equiresiduales en la división entre $p$
Un punto en el interior de un triángulo
Sean P un punto en el interior del triángulo ABC y un ángulo $\alpha$ dado. Los ángulos en la base AB del triángulo ABP miden $x$ y $90-2\alpha$, los ángulos en la base BC del triángulo BCP miden $90-2\alpha$ y $2\alpha-60$, y los de la base CA del triángulo CAP miden $60+\alpha$ y T. Encontrar el valor de $x$ en términos de $\alpha$. (¿Qué condiciones debe cumplir el valor $\alpha$.)
Isósceles y equilátero --elemental pero no trivial
Sean ABC un triángulo, con AB=AC y ángulo en A de 100 grados, y un punto B' en el mismo plano de tal manera que AB'C es equilátero. Encontrar el ángulo ABB'.
Álgebra con geometría
En la figura se muestra un paralelogramo.
a) Si $EY=5x-10, AS=3x+4, EA=4x-8, AO=x+9, EO=2x+4$, encontrar las longitudes de $EY, AS, EA, YS, AY, ES.$
b) Si el ángulo en $E$ mide $5x+9$, y el ángulo en $Y$ mide $10x+51$, encontrar las medidas de cada ángulo del paralelogramo.
(Problema analizado en el XI Congreso Internacional de Educación Matemática, México 2008.)
Par o impar --esa es la pregunta
Si $m$ y $ n $ son números impares ¿qué se puede decir de $(m-1)(n^2-1)/8$? Justifica tu respuesta.
Viaje de estudios
Un grupo de estudiantes hacen una colecta para un viaje de estudios. Si cada uno aportara 62 pesos faltarían 200. Si cada uno aportara 82 pesos sobrarían 1000. ¿Cuántos estudiantes forman el grupo?
Naranjas ombligonas
Compré naranjas ombligonas y pagué 180 pesos. Si me hubieran costado 10% menos cada una, habría comprado 10 naranjas más con los 180. ¿Cuántas naranjas compré y a qué precio? (Variante: si me hubieran costado 20 centavos menos cada una, habría comprado 10 naranjas más con los 180 pesos)
Rebote de pelota
Una pelota se deja caer desde una cierta altura. Se sabe que la altura alcanzada al rebotar es de 1/5 de la altura desde la que cayó. Si después de 3 rebotes alcanza una altura de 6 cm, encontrar la altura desde la que se soltó la primera vez. Justifica tu respuesta.
Vieta en descenso infinito
Considere el cociente $k$ que resulta de dividir $x^2+y^2+1$ entre $xy$, con $x,y$ enteros positivos y la división tiene residuo cero. Determine todos los valores enteros posibles de $k$.
Hacer la tarea o no hacerla ¿da lo mismo?
Supongamos que hay motivos teóricos e indicios empíricos que hacen pensar que los estudiantes de la universidad aprenden más cuando asisten a clase y hacen sus tareas asignadas que cuando solamente asisten a clase. Para tratar de demostrar esta hipótesis se eligen al azar 80 estudiantes y, de esos 80 se eligen de nuevo aleatoriamente 40 de ellos para someterlos al tratamiento experimental de que asistan a clase y hagan sus tareas asignadas, en tanto que los 40 restantes solamente asisten a clase (as usual).