Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
P6. OMM 1989. Trayectorias en retícula triangular
Siguiendo las líneas de la figura ¿Cuántos caminos hay para ir del punto $A$ al punto $B$ que no pasen dos veces por el mismo punto y que solo avancen hacia abajo y hacia los lados pero no hacia arriba?
P5. OMM 1989. Círculos tangentes
Sean $C_1$ y $C_2$ dos círculos tangentes de radio 1 dentro de un círculo $C$ de radio 2. Sea $C_3$ un círculo dentro de $C$ tangente a cada uno de los círculos $C,C_1,C_2$. Sea $C_4$ un círculo dentro de $C$ tangente a $C,C_1,C_3$. Demuestre que los centros de $C,C_1,C_3,C_4$ son los vértices de un rectángulo.
P4. OMM 1989. Números en expansión decimal
Encuentre el entero positivo mas pequeño $ n $ tal que, si su expansión decimal es $ n=a_ma_{m-1}\ldots{a_2}a_1a_0 $ y $r$ es el número cuya expansión decimal es $r=a_1a_0a_ma_{m-1}\ldots{a_2}0$, entonces $r$ es el doble de $n$.
P3. OMM 1989. Número de 1989 cifras
Pruebe que no existe un número positivo de 1989 cifras que tenga al menos tres de ellas iguales a 5 y tal que la suma de todas las cifras sea igual al producto de las mismas.
P2. OMM 1989. Múltiplos encadenados
Encuentre dos números enteros $a$ y $b$ tales que:
- $b^2$ es múltiplo de $a$;
- $a^3$ es múltiplo de $b^2$;
- $b^4$ es múltiplo de $a^3$;
- $a^5$ es múltiplo de $b^4$;
- pero $b^6$ no es múltiplo de $a^5$.
P1. OMM 1989. Áreas y medianas
Considere un triángulo $ABC$ en el que la longitud del lado $AB$ es 5, las medianas por $A$ y por $B$ son perpendiculares entre sí y el área es 18. Hallar las longitudes de los lados $BC$ y $AC$.
P8. OMM 1988. Esfera en octaedro
Calcule el volumen del octaedro que circunscribe a una esfera de radio 1.
P7. OMM 1988. Subconjuntos ajenos de {1,2,...,m}
Si $A$ y $B$ son subconjuntos ajenos del conjunto $\{1,2,\ldots,m\}$ y la suma de los elementos de $A$ es igual a la suma de los elementos de $B$, pruebe que el número de elementos de $A$ y también de $B$ es menor que $m/\sqrt{2}$
P6. OMM 1988. Lugar geométrico del incentro
Considere dos puntos fijos $B$ y $C$ de una circunferencia $W$. Encuentre el lugar geométrico de las intersecciones de las bisectrices de los triángulos $ABC$, cuando $A$ es un punto que recorre $W$.
P5. OMM 1988. Manipulación algebraica con el MCD
Si $a$ y $b$ son dos enteros positivos primos relativos y $ n $ es un entero, pruebe que el máximo común divisor de $a^2+b^2-nab$ y $a+b$ divide a $n+2$
P4. OMM 1988. Ocho enteros entre uno y ocho
¿Cuántas maneras hay de escoger ocho enteros $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_8$ no necesariamente distintos, tales que $1\leq{a_1}\leq\ldots\leq{a_8}\leq8$?
P3. OMM 1988. Área de triángulo de tangentes comunes
Considere dos circunferencias tangentes exteriormente y de radios distintos; sus tangentes comunes forman un triángulo. Calcule el área de dicho triángulo en términos de los radios de las circunferencias.
P2. OMM 1988. Expresiones equiresiduales (módulo 19)
Si $a$ y $b$ son enteros positivos, pruebe que 19 divide a $11a+2b$ si y sólo si 19 divide a $18a+5b$
P8. OMM 1987. El último de la primera nacional (de geometría tridimensional)
- Tres rectas en el espacio l, m, n concurren en el punto S y un plano perpendicular a m corta a l, m, n en A, B y C respectivamente. Suponga que los ángulos ASB y BSC son de 45° y que el ángulo ABC es recto. Calcule el ángulo ASC.
- Si un plano perpendicular a l corta a l, m, n en P, Q y R respectivamente y si SP = 1, calcule los lados del triángulo PQR.
P7. OMM 1987. Problema clásico de cocientes de polinomios de la OMM
Demuestre que si $n$ es un entero positivo, entonces $$\frac{n^2 + n -1}{n^2 + 2n}$$ es una fracción irreducible (simplificada).
P6. OMM 1987. Divisibilidad clásico de la OMM
Demuestre que para cualquier entero positivo $n$, el número $(n^3-n)(5^{8n+4}+3^{4n+2})$ es múltiplo de 3804.
P5. OMM 1987. Triángulo rectángulo y tres área iguales imposibles
Considere un triángulo rectángulo ABC donde la hipotenusa es BC. M un punto en BC; P y Q las proyecciones de M en AB y BC, respectivamente. Pruebe que, para ninguno de tales puntos M, son iguales las áreas de BPM, MQC y AQMP (las tres al mismo tiempo).
P4. OMM 1987. Producto de enteros menores que 100 y con tres divisores
Calcule el producto de todos los enteros positivos menores que 100, y que tengan exactamente tres divisores positivos. Compruebe que dicho número es un cuadrado perfecto.
P3. OMM 1987. Lugar geométrico de la proyección de un punto
Considere dos rectas $\ell$ y $\ell'$ y un punto fijo P que diste lo mismo de $\ell$, que de $\ell'$. ¿Qué lugar geométrico describen los puntos M que son proyección de P sobre AB, donde A está en $\ell$, B está en $\ell'$, y el ángulo APB es recto.
P2. OMM 1987. Divisores de 20 factorial
¿Cuántos enteros positivos dividen a 20! ? (20! = 1×2×3×· · ·×19×20).