Problemas - Álgebra
P6. Más de Desigualdades Tamaulipas
P1. El regreso del piso, el ascenso del techo
3. Una desigualdad, muchas soluciones.
(CIIM P5, 2013) Matrices y conjugación
P6. Desigualdades Tamaulipas para un número real
Sean $a$ y $b$ enteros positivos y $c$ un número real positivo tal que $$\frac{a+1}{b+c}=\frac{b}{a}$$
Demuestra que $c \geq 1$.
P4. Divisores propios en una sucesión infinita
Un divisor propio de un entero positivo $N$ es un divisor positivo de $N$ distinto de $N$.
La sucesión infinita $a_1, \ a_2, \dots$ está formada por enteros positivos, cada uno con al menos 3 divisores propios. Para cada $n \geq 1$ el entero $a_{n+1}$ es la suma de los tres mayores divisores propios de $a_n$.
Determina todos los valores posibles de $a_1$.
P3. Funciones Bonza
Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Una función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ se llama $genial$ si
$$f(a) | b^a-f(b)^{f(a)}$$
Para todos los enteros positivos $a, b$.
Determine la menor constante real $c$ tal que $f(n) \leq cn$, para todas las funciones $geniales \ f$ y todos los enteros positivos $n$.
P7. Contando el producto ij.
Sea $n$ un entero positivo. Se numeran los renglones y las columnas de una cuadrícula de $n \times n$ del 1 al $n$. Dentro de cada cuadrito se escribe un entero no-negativo de manera que el entero escrito en el cuadrito del renglón $i$ y la columna $j$ es igual a la cantidad de cuadritos que tienen escrito el producto $i \cdot j$. Determina de cuántas maneras se puede hacer esto.
P5. Polinomio con coeficientes en progresión geométrica
Sea $a_0, a_1, a_2, \dots$ una sucesión geométrica estrictamente creciente. Determina todos los números reales $x$ para los cuales existe $n \geq 0$ tal que:
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_1x + a_0=0$$
Nota: Una sucesión geométrica es estrictamente creciente si existe una constante $r$ tal que $a_{n+1}=a_n\cdot r$ y además $a_{n+1}>a_n$ para toda $n \geq 0$.
P4. Desigualdades del femenil
Sean $a, b, c, d$ números reales positivos. Demuestra que:
$$\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\right)^4 \geq \frac{64abcd}{a^4+b^4+c^4+d^4}$$