Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Seis naturales no nulos
Sean $a,b,c,d,p$ y $q$ números naturales no nulos que verifican $ad - bc = 1$, y $$\frac{a}{b}\gt \frac{p}{q}\gt \frac{c}{d}$$
Demostrar que
- $q\geq b+d$
- Si $q=b+d$ entonces $p=a+c$
Lados y alturas en progresión aritmética, equilátero
Las medidas de los lados de un triángulo están en progresión aritmética, y las longitudes de las alturas del mismo triángulo también están en progresión aritmética. Demuestre que el triángulo es equilátero.
Puntos en lados opuestos de un cuadrilátero
Sean $ABCD$ un cuadrilátero plano convexo, y $P$ y $Q$ puntos de $AD$ y $BC$, respectivamente, tales que
$$\frac{AP}{PD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BQ}{QC}$$
Demuestre que los ángulos que forma la recta $PQ$ con las rectas $AB$ y $DC$ son iguales.
Raíces de una ecuación cúbica
Si $r, s$ y $t$ son las raíces de la ecuación $$x(x-2)(3x-7)=2$$
a) Demuestre que $r,s$ y $t$ son positivos.
b) Calcule $\arctan{r}+\arctan{s}+\arctan{t}$
El truco es conjugar
Pruebe que si $m, n, r$ son enteros positivos, no nulos, y $$1+m+n\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{2r-1}$$, entonces $m$ es un cuadrado perfecto.
Una condición de isósceles
En un triángulo $ABC$, $M$ y $N$ son los puntos medios respectivos de los lados $AC$ y $AB$, y $P$ el punto medio de intersección de $BM$ y $CN$. Demuestre que, si es posible inscribir una circunferencia en el cuadrilátero $ANPM$, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.
Funciones que cumplen ecuación
Encontrar las funciones $f(x)$ tales que cumplen la ecuación $$[f(x)]^2[f(1-x)/(1+x)]=64x$$ para $x\neq0,x\neq1,x\neq-1$
Cevianas por el circuncentro
Dado un triángulo $ABC$, considere los puntos $D, E, F$ en las rectas $BC, AC, AB$, respectivamente. Si las rectas $AD, BE, CF$ pasan todas por el centro $O$ del circuncírculo de $ABC$, cuyo radio es $r$, demostrar que
$$\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CE}=\frac{2}{r}$$
Un ejercicio en álgebra
Demostrar que si $x\neq1, y\neq1, x\neq{y}$ y $$ \frac{yz-x^2}{1-x}=\frac{zx-y^2}{1-y}$$
entonces ambas fracciones son iguales a $x + y + z$.
Vieta y la desigualdad de las medias
Halle las raíces $r_1, r_2, r_3, r_4$ de la ecuación:
$$4x^4 – ax^3 + bx^2 – cx + 5 = 0$$
Sabiendo que son reales positivos, y que
$$\frac{r_1}{2}+\frac{r_2}{4}+\frac{r_3}{5}+\frac{r_4}{8}=1$$
Punto en el interior de un equilátero
Sea $P$ un punto interior al triángulo equilátero $ABC$ tal que:
$$PA = 5, PB = 7, PC = 8$$
Encontrar la longitud del lado del triángulo ABC.
Vieta y los polinomios simétricos
Encontrar todas las ternas de enteros $(a, b, c)$ tales que:
$$a + b + c=24$$
$$a^2 + b^2 + c^2=210$$
$$abc=440$$
IMO 2007 (PROBLEMA 6)
Sea un entero positivo. Se considera
Divisores primos de polinomios
Sea $f(X)$ un polinomio de coeficientes enteros y $p$ un número primo. Decimos que $p$ es un divisor primo de $f(X)$ si existe $n \in \mathbb{Z}$ tal que $p | f(n)$.
Demuestre que todo polinomio no constante de coeficientes enteros tiene un número infinito de divisores primos.
Triangulos de area 1 en una reticula de 4x4!!!
La siguiente reticula de 4x4 esta formada por cuadritos de lado igual a 1; se quiere dibujar un triangulo de area 1 de tal forma que sus vertices sean puntos de la reticula ¿cuantas formas hay de hacer esto?
CONGRESO INTERNACIONAL DE CIENTIFICOS!!!
En un congreso internacional se reunene n cientificos de 6 paises.Durante el congreso los cientificos se dividen en 4 secciones de tal manera que dentro de cualquier grupo de 6 participantes de la misma seccion siempre hay dos cientificos de la misma edad. Encuentra el minimo numero n para el cual, bajo las condiciones mencionadas arriba, se pueda asegurar que existen 3 cientificos de una misma seccion que tienen la misma edad y pertenecen el mismo pais.
ayuda con este problema
Felipe depositó $ 1.800.000 en un banco a una tasa de interés del 1,3% mensual. Al cabo de tres años, ¿cuál es la cantidad de dinero que tiene depositada Felipe?
XI ONMAS!
Sea ABCDEF un hexagono con todos sus lados de longitud 1 y con los angulos ABC y EFA de 90°. ¿ cuanto debe medir el angulo BCD de manera que el area del hexagono sea la mayor posible ?
Numeros en el cubo
En cada una de las caras de un cubo, se escribe un numero entero positivo, y en cada vértice se escribe el producto de los números de las 3 caras adyacentes a ese vértice. Si la suma de los números en los vértices es 105. ¿Cuánto vale la suma de los números en todas las caras?
Mesas circulares!
Hay 3 equipos, cada uno de ellos con 3 personas. Se quieren sentar alrededor de una mesa redonda con sillas numeradas del 1 al 9. ¿De cuantas formas se pueden sentar las 9 personas en las sillas, de tal manera que cualesquiera dos personas consecutivas del mismo equipo esten separados entre si por la misma cantidad de sillas?