Problemas

Esta es nuestra colección de problemas. Los hemos clasificados por tema, dificultad y tipo de concurso. No dudes en escribir comentarios con tus soluciones o con cualquier duda sobre el problema.
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Problema

Ida y vuelta

Enviado por jmd el 23 de Febrero de 2009 - 11:27.

Una persona camina de $A$ a $B$ a 4 km/h y de regreso de $B$ a $A$ camina a 6 km/h. Si tarda 45 minutos en la caminata de ida y vuelta ¿cuál es la distancia entre A y B?

Problema

Demostrar isósceles

Enviado por jmd el 23 de Febrero de 2009 - 11:24.

En el triángulo $ABC$, las alturas $CM$ y $BN$ se cortan en el punto $S$. Con los datos que se muestran en la figura, concluye que el triángulo es isósceles.

Problema

Quita y pon canicas.

Enviado por jesus el 20 de Febrero de 2009 - 15:29.

El siguiente juego de canicas involucra un sólo jugador. Se ponen muchas canicas en una caja.

Problema

Problema desargueano (parte 1)

Enviado por jmd el 18 de Febrero de 2009 - 21:40.

Si en un triángulo $ABC$ se toman los puntos $P$ en $BC$, $Q$ en $CA$ y$ $R en $AB$, de tal manera que las rectas $QR, RP, PQ$ cortan a los lados $BC, CA, AB$ en los puntos $P', Q', R'$, res

Problema

P1 OMM 2004 - Problema 1

Enviado por jose el 13 de Febrero de 2009 - 00:39.

Encuentra todos los números primos $p,q, r$ con $p$<$ q$ <$r$ , que cumplan
con $25pq+ r= 2004$ y que $pqr+ 1 $ sea un cuadrado perfecto

Problema

Ternas Pitagóricas (parte 3)

Enviado por jmd el 12 de Febrero de 2009 - 20:39.

Demostrar que en cualquier terna pitagórica primitiva $a^2+b^2=c^2$, exactamente dos de los números $a, b, c$ son impares. (Primitiva significa sin divisores en común.)

Problema

Ternas Pitagóricas (parte 2)

Enviado por jmd el 12 de Febrero de 2009 - 20:17.

Demostrar que en cualquier terna pitagórica $a^2+b^2=c^2$,  al menos uno de los números a, b, c es divisible entre 5.

Problema

Geometría con origami

Enviado por jmd el 12 de Febrero de 2009 - 06:19.

Una hoja de papel en forma rectangular $ABCD$ se dobla a lo largo de la línea $PQ$ de manera que el vértice $A$ quede en el lugar del punto $A’$ y el vértice $B$ en el lugar del punto $B’$. Al medir los segmentos $AP, BQ, DP$, se tiene que miden $26 cm, 5 cm$ y $10 cm$, respectivamente.

¿Cuál es el área del la hoja de papel?

Problema

Problema 6, ONMAS 5 (modificado)

Enviado por jmd el 12 de Febrero de 2009 - 05:59.

En un rectángulo de base 10 y altura 8, se ha inscrito un paralelogramo de tal manera que en las esquinas del rectángulo se forman triángulos de catetos 4 y 7 y 3 y 4. Encuentra la distancia entre los lados opuestos del paralelogramo inscrito en el rectángulo.

 

Problema

Problema 6 OMM 2003

Enviado por jose el 7 de Febrero de 2009 - 00:12.

Dado un entero $n$ un cambio sensato consiste en sustituir $n$ por $2n+1$ ó $3n+2$. Dos enteros positivos $a$ y $b$ se llaman compatibles si existe un entero que se puede obtener haciendo uno o más cambios sensatos, tanto a partir de $a$,  como a partir de $b$. Encuentra todos los enteros positivos compatibles con $2003$ menores que $2003$.

 

Problema

Problema 4 OMM 2003

Enviado por jose el 6 de Febrero de 2009 - 23:52.

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB$ paralelo a $DC$. Se toman puntos $P$ y $Q$ sobre $AB$ y $CD$ respectivamente, tales que $\frac{AP}{PB}= \frac{DQ}{QC}$. Sea $M$ la intersección de $AQ$ con $DP$ y sea $N$ la intersección de $PC$ con $QB$. Pruebe que la longitud de $MN$ depende sólo de las longitudes de $AB$ y $DC$ y calcula su valor.

 

Problema

Ciencias blandas (Soft science)

Enviado por jmd el 5 de Febrero de 2009 - 19:51.

Tres licenciados en ciencias blandas han tenido que entrar al mercado laboral con sus habilidades preuniversitarias. Con la siguiente información decide en qué trabaja cada uno.

Problema

Triángulos de igual área

Enviado por jmd el 5 de Febrero de 2009 - 13:40.


Demostrar que un cuadrilátero es paralelogramo si y sólo si cada una de sus diagonales lo divide en dos triángulos de igual área.

Problema

Problema 5, ONMAS 2007

Enviado por jmd el 4 de Febrero de 2009 - 20:49.

Sean $a, b$ dos enteros tales que $2007 a = 7002b$. Demostrar que $a+b$ no es primo.

Problema

Pícaro y caballero (segunda parte)

Enviado por jmd el 4 de Febrero de 2009 - 13:13.

La Prepa El Pícaro Caballero (de un país muy lejano) tiene dos tipos de profesores: pícaros y caballeros.

Problema

Pícaro y caballero

Enviado por jmd el 4 de Febrero de 2009 - 12:55.

La prepa El Pícaro Caballero (de un país muy lejano) tiene dos tipos de profesores: pícaros y caballeros.

Problema

Problema 2 OMM 2003

Enviado por jose el 1 de Febrero de 2009 - 23:10.

Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos colineales con $B$ entre $A$ y $C$. Sea $Y$ una circunferencia tangente a $AC$ en $B$, y sean $X$ y $Z$ las circunferencias de diámetros $AB$ y $BC$,
respectivamente. Sea $P$ el otro punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $X$ y $Y$; sea $Q$ el otro punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $Y$ y $Z$.
Supón que la recta $PQ$ corta a $X$ en un punto $R$ distinto de $P$, y que esa misma recta $PQ$ corta a $Z$ en un punto $S$ distinto de $Q$. Demuestra que concurren $AR$,$CS$, y la tangente
común a $X$ y $Z$ por $B$.

Problema

Problema 5 OMM 2003

Enviado por jose el 30 de Enero de 2009 - 22:11.

Problema 5. Se escriben en tarjetas todas las parejas de enteros $(a,b)$ con $1\leq a\leq b \leq 2003$. Dos personas juegan con las tarjetas como sigue: cada jugador en su turno elige $(a,b)$ (que se retira del juego) y escribe el producto ab en el pizarrón (ambos jugadores usan el mismo pizarrón). Pierde el jugador que ocasione que el máximo común divisor de los números escritos hasta ese momento sea $1$. ¿Quién tiene la estrategia ganadora? (Es decir, ¿cuál de los dos jugadores puede inventar un método que asegure su tirunfo?)

Problema

Problema 3 OMM 2003

Enviado por jose el 30 de Enero de 2009 - 22:07.

Problema 3. En una fiesta hay el mismo número n de muchachos que de muchachas. Supón que a cada muchacha le gustan a muchachos y que a cada muchacho le gustan b muchachas. ¿Para qué valores de $a$ y $b$ es correcto afirmar que forzosamente hay un muchacho y una muchacha que se gustan mutuamente?
 

Problema

Cálculo inteligente

Enviado por jesus el 30 de Enero de 2009 - 21:41.

¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?

$(12, 345, 678)^2 - (12, 345, 677) \times (12, 345, 679)$