Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 3
Juan tiene que llevar una ficha desde la esquina A hasta la esquina B, moviéndola por las líneas de la cuadrícula del tablero. La ficha puede moverse hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda (la ficha puede pasar varias veces por el mismo punto). Cada vez que la ficha se mueve en sentido horizontal, Juan anota el número de la columna por la que atraviesa. Cuando la ficha finalmente llega a la esquina B, Juan multiplica todos los números que anotó. Encuentra todos los caminos donde el producto de los números anotados por Juan es 8640. Justifica tu respuesta.
Problema 2, regiones 2008 (La cola del teatro)
En la cola de la taquilla del teatro están formadas 4 personas con un billete de 50 pesos cada una y 3 con uno de 100 pesos cada una. El boleto cuesta 50 pesos y la caja está vacía al empezar la venta de boletos. (Nota: las personas en la fila sólo se distinguen por el tipo de billete que traen, y cada una trae exactamente un billete.)
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a) ¿En cuántas ordenaciones diferentes la cola no se detiene por falta de cambio?
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b) ¿Cuántas ordenaciones diferentes hay –sin importar si detienen o no la cola?
Problema 1, regional 2008
La suma de las áreas de dos cuadrados es 400, y el lado de uno mide 3/4 del lado del otro.
a) ¿Cuánto mide el lado de cada uno de los cuadrados?
b) ¿Cuánto medirían si la suma de las áreas fuese 800?
ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 6
En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD. Se sabe que el centro del círculo inscrito en el triángulo BCD coincide con el centro del círculo circunscrito del triángulo ABC. Calcular los ángulos del triángulo ABC.
ONMAS 2008 Nivel 1, Problema5
Hay que escribir una fila de 20 dígitos de manera que la suma de tres dígitos consecutivos de la fila sea siempre múltiplo de 5. ¿Cuál es la máxima cantidad de dígitos distintos que puede haber en la filal.
ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 1
Se tiene un cubo con las seis caras de diferente color y deseamos colocar los números del 1 al 6 en las caras del cubo (uno en cada cara). ¿De cuántas formas podemos realizar el acomodo, si deseamos que la suma de los números que están en caras opuestas sea 7?
ONMAS 2008, Nivel 1, Problema 2
Sean G una circunferencia de centro O y G’ una circunferencia que pasa por O. Sean A y B los puntos en que G interseca a G’ y escojamos un punto C en G’ distinto de A y B. Tracemos las líneas AC y BC y llamemos D y E a los puntos donde estas líneas cortan a G, respectivamente. Demuestra que AE es paralela a DB.
Siete enteros
En cualquier conjunto de siete enteros siempre hay dos cuya suma o diferencia es múltiplo de 11.
Longitud Mínima
Sea ABC un triángulo y P un punto que se mueve sobre la recta que contiene al lado BC. Consideremos M y N los pies de las perpendiculares trazadas desde P sobre los lado AB y AC respectivamente. Encuentra el punto P para el cual MN tiene longitud mínima.
P4 OMM 2006. Zacatecas 2006: n-cubrimiento de una n-escalera
Como se sabe, en problemas de olimpiada, el enunciado puede tener una trampa de significado. El problema 4 del XX concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas consiste de una pregunta “para qué enteros…”. La mayoría de los concursantes respondieron a la pregunta. Pero a la hora de las revisiones se supo que no bastaba con decir “estos son” sino que había que demostrar que no había otros. La solución necesitaba estar en el formato “los enteros n cumplen la condición si, y sólo si, son de la forma n = f(k)”. He aquí el enunciado del problema 4 del concurso nacional de 2006.
Un teorema sobre primos
Para todo primo $ p $, si $p^2 + 2$ es primo entonces $p^3 + 2$ es también primo.
Ternas Pitagóricas
Demuestre que para cualquier terna pitagórica $a^2+b^2=c^2$, alguno de los números $a, b, c$ es divisible por tres.
Sucesión Aritmética y prueba de coprimalidad
Si ninguno de los números $b,2b,...,(m-1)b$ es divisible entre $m$, entonces $m$ y $b$ son coprimos.
Un problema interesante de exponentes
Problema. Encontrar todos los enteros positivos $a,b$ tales que $a^b=b^a$
Monterrey 97
Como se sabe, uno de los 6 problemas del concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas es trivial –por lo menos para quienes han tenido un buen entrenamiento. He aquí el enunciado del primer problema del concurso nacional de 1997.
Encuentra todos los números primos positivos p tales que también sea un primo positivo.
XX Avanzados
Encuentra todas las parejas de números $(a,b)$ tales que $a-b$ es un número primo y el producto $ ab$ es un cuadrado perfecto.
Algoritmo Glotón y Criba
Construir un subconjunto B de A={1,2,…,40} tal que |B|=26 (el tamaño de B) y si b1 y b2 están en B entonces b1b2 no es cuadrado perfecto.
Longitud mínima - caso particular
Sean $ABC$ un triángulo rectángulo en $ A $, y $ P $ un punto móvil en la hipotenusa $ BC $.
2n-agono
Demostrar que para cada n natural mayor que 1, cualquier 2n-ágono convexo tiene una diagonal que no es paralela a ningún lado.