Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Soluciones de una cuadrática
Sean $x_1$ y $x_2$ dos soluciones distintas de la ecuación cuadrática:
$Ax^2+Bx+C=0$
Demuestra que $$ (x_1-x_2)^2 = \frac{(B/2)^2 -AC}{A^2} $$
subconjuntos con elemento común
Dado el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, demostrar que no tiene ninguna colección de subconjuntos tal que cada par de ellos tienga un elemento común.
subsucesiones
Una sucesión de n^2+1 números reales distintos es dada. Demostrar que existe una subsucesión de n+1 números que es ya sea estrictamente creciente, o estrictamente decreciente.
Tablero y fichas de dominó
¿Se podrá llenar de fichas de dominó el tablero de ajedrez sin cubrir dos casillas en esquinas opuestas?
Nota. Las fichas de dominó cubren exactamente dos casillas del tablero.
Teorema de Pitágoras
Un triángulo de lados $a, b, c$, con $c > a, b$ es triángulo rectángulo sí y sólo si $c^2 = a^2 + b^2$.
Tesoro Pirata Disfrazado
El problema del tesoro pirata puede ser planteado de la siguiente manera. Sean dados los triángulos MPX y MRY, ambos isósceles y rectángulos en P y R respectivamente. Demostrar que la mediatriz del segmento PR pasa por el punto medio de XY.
Triángulo rectángulo -enunciado
Considere un triángulo rectángulo con longitudes a, b y c, la hipotenusa es de longitud c, sea r la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. Demuestre que r es igual a la mitad de a+b-c.
un problema de digitos y divisibilidad
Encontrar todos los números de cuatro cifras $abcd_{10}$ divisibles entre 13 y tales que $cd =3(ac+2)$
Una sucesión no acotada
Considere la sucesión $a_0, a_1, a_2,\dots $ de enteros construida como sigue:
-
$ a_0 > 5 $ es impar,
-
$ a_{n+1} = a_n/2 $ si $ a_n $ es par,
-
y $a_{n+1} ={a_n}^2-5$ si $ a_n $ es impar.
Demostrar que la sucesión es no acotada.
USAMTS (Problema 5)
Sea c un número real. La sucesión $a_1,a_2, a_3,\dots$ está definida por $a_1=c$ y $a_n = 2a_{n-1}^2 -1$ , para todo $n \geq 2$ . Encontrar todos los valores de para los cuales $a_n <0$ para toda n.
Triángulo Rectángulo 2
Sea ABC un triángulo rectángulo con ángulo recto en C, denotemos con R al punto donde la circunferencia inscrita es tangente al lado BC. Pruebese que $ AR \cdot RB $ es igual al área de ABC.
Retroducción en un problema de números
Al estudiante A se le da a conocer un número a y la información de que a es el producto xy de dos enteros positivos. Al estudiante B se le da a conocer un número b y la información de que es la suma x+y de los mismos números cuyo producto es el número dado a A. Además, a ambos se les hace saber que x, y son números enteros mayores que 1 y su suma es menor que 100. Después de que los estudiantes obtienen esta información (y después de haberla meditado un rato) tiene lugar el siguiente diálogo: