Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Partir la baraja
Sea $ n $ un entero positivo. Una baraja de $2n$ cartas contiene exactamente dos cartas marcadas con cada uno de los enteros $1,2,\ldots,n.$ Las cartas se ordenan en la forma $1,1,2,2,3,3,...,n,n.$ La baraja ya ordenada de esta manera se parte, y resulta que, en las dos partes, los dígitos en las cartas suman la misma cantidad.
Segmentos iguales y colinealidad
Sea ABC un triangulo, M el punto medio de CA, P el punto donde la bisectriz desde C intersecta a AB; E y Q son los puntos donde una ceviana desde A intersecta a la bisectriz y al lado BC, respectivamnete (Q no esta en la prolongacion de BC). Demuestra que los segmentos PQ y CQ son iguales, si y solo si B, E y M son colineales.
Los cuadernos del Chico Fresa
El Chico Fresa recién regresó de Italia y les trajo cuadernos a sus cuates. ¿De cuántas formas puede distribuir los 15 Moleskine entre 4 de sus amigos, bajo la condición de que a Baldo le toquen al menos 3, a Carlos al menos 2 y a Daniel al menos 1? (Nota: a Eulogio le puede tocar cualquier número --lo siento el chico fresa tiene sus preferidos.)
Cuadrilátero cícliclo dentro de un cuadrilátero circunscrito
Sea ABCD un cuadrilátero para el cuál existen cuatro puntos P, Q, R y S sobre los lados AB, BC, CD y DA respectivamente y tales que PB=BQ, QC = CR, RD = DS y SA = AP. Demuestra que:
- a) El cuadrilátero ABCD es circunscrito
- b) El cuadrilátero PQRS es cíclico.
Problema 4 OIM 1997
Sea n un entero positivo. Consideremos la suma $x_1y_1 + x_2y_2 + \ldots + x_ny_n$, donde los valores que pueden tomar las variables $x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n$ son únicamente 0 y 1. Sea $I(n)$ el número de $2n$-adas $(x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n)$ para las cuales el valor de la suma es un número impar y sea $P(n)$ el número de $2n$-adas $(x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n)$ para las cuales la suma toma valor par. Probar que
$$\frac{P(n)}{ I(n)}=\frac{2^n + 1}{2^n - 1}$$
IMO 2009, Problema 5
Determinar todas las funciones f del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos a y b, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden
$$a, f(b) \textrm{ y } f(b + f(a) - 1)$$
(Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados).
P1. OMM 1988. Siete pelotas blancas y cinco negras
¿De cuántas formas se pueden acomodar en línea recta siete pelotas blancas y cinco negras, de tal manera que no estén dos pelotas negras juntas?
IMO4_2009_invertido
Sean ABC un triángulo isósceles rectángulo en A, J su incentro y AD, BE las bisectrices de los ángulos A y B, respectivamente. La altura AD es tangente al incírculo del triángulo ADC (con incentro en I) en P y al lado CA en Q. Demostrar que:
Cambio de dígitos
Sean $a$ y $b$ enteros positivos de 8 dígitos cada uno, tales que al quitar cualquier dígito de $a$ (pero solo uno) y colocar el correspondiente en posición con $b$, se cumple que el número formado es divisible entre 7 (en cualquiera de los 8 posibles cambios). Demuestra que $b$ es divisible entre 7.
Equilátero seccionado (3G, take_home_1)
Sea ABC un triángulo equilátero y A’, B’ , C’, puntos sobre los lados BC, CA y AB, respectivamente, tales que $$AC'/C'B=BA'/A'C=CB'/B'A=2$$ Las intersecciones de los segmentos AA’, BB’ y CC’ determinan un triángulo interior, digamos, DEF.
Una propiedad trivial de la potencia de un punto
Sean dados tres puntos distintos O, P, Q en el plano. Demostrar que OP=OQ si y sólo si P y Q tienen la misma potencia respecto a un círculo cualquiera con centro en O.
IMO 2009, Problema 3
Sea $s_1, s_2, s_3, \ldots $ una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que las
subsucesiones
$$s_{s_1} , s_{s_2} , s_{s_3} ,\ldots \textrm{ y } s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \ldots $$
son ambas progresiones aritméticas. Demostrar que la sucesión $s_1, s_2, s_3, . . .$ es también una progresión
Problema 5(N)
El alumno menos aventajado del salón canceló el 6 en 16/64 y obtuvo 1/4 --la respuesta correcta. Encontrar todos los pares de números de dos cifras ab, bc tales que ab/bc=a/c --con a,b,c dígitos diferentes. (Es decir, todos los casos en que este alumno podría acertar con su método al simplificar quebrados de dos cifras.)
IMO 2009 Problema 1
Sea $ n $ un entero positivo y sean $a_1,a_2,...,a_k (k\geq 2)$ enteros distintos del conjunto $ {1,...,n} $, tales que $ n $ divide a $a_i(a_{i+1}-1)$, para $i=1,..., k-1$. Demostrar que $ n $ no divide a $a_k(a_1-1)$.
IMO 2009 Problema 2
Sean ABC un triángulo de circuncentro O, P y Q puntos sobre AB y AC, respectivamente, y K, L, M los puntos medios de BQ, CP y PQ, respectivamente. Si el circuncírculo del triangulo KLM es tangente a PQ, demostrar que OP=OQ.
IMO 2009 Problema 4
En un triángulo $ ABC $, donde $AB=AC$, los bisectrices internas de $\angle{A}$ y $\angle{B}$ cortan a los lados $ BC $ y $AC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $I$ el incentro del triángulo $ADC$. Supongamos que $\angle{IEB}=45$. Encontrar todos los valores posibles de $\angle{A}$.
Probar isósceles
En una semicircuferenica de diámetro AB se elige un punto D y se baja una perpendicular al diámetro AB cortándolo en C. En el espacio descrito por DC, CB y el arco BD se inscribe un círculo tangente a CD en L, a BC en J y al arco BD en K. Demostrar que AD=AJ.
Encontrar el término n de una sucesión
Considere la sucesión $a_1=1$ y, para $ n $ mayor que 1, $a_n=1+2a_{n-1}.$ Encontrar una fórmula para el término n-ésimo y demostrarla por inducción.
Potencia de un punto y circunferencias ortogonales
Sean dados una circunferencia c de radio r y centro O, y dos puntos M y M' tales que $OM\cdot OM'=r^2$ (i.e., inversos uno del otro respecto a c). Demostrar que cualquier circunferencia c' que pase por M y M' es ortogonal a c.
Condición necesaria y suficiente para cíclicos
Sea PQRS un cuadrilátero tal que sus lados opuestos PR y QS se cortan en un punto T. Demostrar que PQRS es cuadrilátero cíclico si y sólo si $TR\cdot TP=TS\cdot TQ.$