Problemas

Sea $n$ un entero positivo. Se numeran los renglones y las columnas de una cuadrícula de $n \times n$ del 1 al $n$. Dentro de cada cuadrito se escribe un entero no-negativo de manera que el entero escrito en el cuadrito del renglón $i$ y la columna $j$ es igual a la cantidad de cuadritos que tienen escrito el producto $i \cdot j$. Determina de cuántas maneras se puede hacer esto.

Sea $a_0, a_1, a_2, \dots$ una sucesión geométrica estrictamente creciente. Determina todos los números reales $x$ para los cuales existe $n \geq 0$ tal que:

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_1x + a_0=0$$

Nota: Una sucesión geométrica es estrictamente creciente si existe una constante $r$ tal que $a_{n+1}=a_n\cdot r$ y además $a_{n+1}>a_n$ para toda $n \geq 0$.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno con $\angle BAC = 90^{\circ}$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. La recta perpendicular a $AM$ por $M$ intersecta a las rectas $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $H_1, H_2$ los ortocentros de los triángulos $CMP$ y $BMQ$ respectivamente. Demuestra que $H_1H_2$ pasa por $A$.

NOTA: el ortocentro es la intersección de las tres alturas. 

Luna y sus amigas estan jugando con agua. Tienen $n$ garrafones vacíos de capacidad infinita y $m$ botellas llenas de agua, con $m>n$. Las botellas están ordenadas y numeradas $1, 2, \dots, m$, de la más pequeña a la más grande. La botella $i$ tarda exactamente $i$ segundos en vaciarse, para $1 \leq i \leq m$. Sus amigas van a vaciar el agua de las botellas en los garrafones siguiendo estas reglas:

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle CAB =90 ^ {\circ}$ e incentro $I$. Las bisectrices de $\angle C$ y $\angle B$ intersecan a $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente, e intersecan a la perpendicular de $BC$ por $A$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $D$ y $N$ los puntos medios de $PE$ y $QF$ respectivamente. 

1. Demuestra que los puntos $D, \ A, \ N, \ I$ están sobre una circunferencia.
2. Demuestra que $DN$ es paralela a $BC$

¿De cuántas formas puedo ordenar las letras de "$tralalerotralala$" de tal forma que las letras de "$tra$" respeten su orden? Ejemplo, $tratralalerolala$ es válido, pero $tralalerotarlala$ no lo es.

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos de números reales positivos tales que:

• Para cualquier par de elementos $u \geq v$ de $A$, se cumple que $u+v$ es elemento de $B$
• Para cualquier par de elementos $s > t$ de $B$, se cumple que $s-t$ es un elemento de $A$

Prueba que $A=B$ o existe un número real $r$ tal que $B=\{2r, 3r, 4r, \dots \}$

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo y sean $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ los puntos medios de $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ respectivamente. Se construyen los puntos $A_2, B_2, C_2, D_2, E_2, F_2$ en el interior de $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ tales que:

• El dodecágono $A_2A_1B_2B_1C_2C_1D_2D_1E_2E_1F_2F_1$ tiene sus 12 lados iguales
• $\angle A_1B_2B_1 + \angle C_1D_2D_1 + \angle E_1F_2F_1 = \angle B_1C_2C_1 + \angle D_1E_2E_1 + \angle F_1A_2A_1 = 360$°, donde todos los ángulos son menores a 180°

Demuestra que $Α_2B_2C_2D_2E_2F_2$ es cíclico. 

En la figura se, se muestran las 6 maneras distintas en que se puede colorear un cuadrado de $1 \times 1$ subdividido en 4 cuadritos de $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ con cuatro colores distintos (dos coloreados se consideran iguales si es posible rotar uno para obtener el otro). Cada uno de estos cuadrados de $1 \times 1$ se usará como pieza de un rompecabezas. Las piezas se pueden rotar, pero no reflejar. Dos piezas $encajan$ si al unirlas por un lado completo, los cuadritos de $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ a ambos lados del lado por el que se unen son del mismo color (ver ejemplos). ¿Es posible armar un rompecabezas de $3 \times 2$ utilizando cada pieza exactamente una vez y de forma que todas las piezas adyacentes encajen?